Matematica. La regina delle scienze
 

Indovinello 2-ter Telo elastico a tenda

Wakinian Tanka 13 Set 2017 22:12
Sempre piu' difficile! :-)

Terra sferica, di raggio R.
Si assuma di poter realizzare un telo in un materiale in grado di deformarsi
localmente mantenendo pero' invariata l'area della sua superficie complessiva,
che e' pari a 4*pi*R^2 + 1m^2
(superficie esterna della Terra + 1m^2).

Lo si avvolge strettamente attorno al pianeta in modo perfettamente aderente,
finche' cio' e' possibile e il resto lo si erge a mo' di tenda sopra la
superficie terrestre per mezzo di un palo di altezza h.

Trovare h.

Ci sta un gatto dentro la tenda? :-)
E una giraffa? Una formica?

--
Wakinian Tanka
effe 14 Set 2017 07:50
Il 13/09/2017 22.12, Wakinian Tanka ha scritto:

> Trovare h.
>
> Ci sta un gatto dentro la tenda? :-)
> E una giraffa? Una formica?

Formica. Poco più di 2 mm?
El Filibustero 14 Set 2017 10:06
On Wed, 13 Sep 2017 13:12:32 -0700 (PDT), Wakinian Tanka wrote:

>Terra sferica, di raggio R.
>Si assuma di poter realizzare un telo in un materiale in grado di deformarsi
localmente mantenendo pero' invariata l'area della sua superficie complessiva,
che e' pari a 4*pi*R^2 + 1m^2
>(superficie esterna della Terra + 1m^2).
>
>Lo si avvolge strettamente attorno al pianeta in modo perfettamente aderente,
finche' cio' e' possibile e il resto lo si erge a mo' di tenda sopra la
superficie terrestre per mezzo di un palo di altezza h.
>
>Trovare h.

Assumendo R=6731000 m, h risulta sui 37 nm, SE&O. Ciao
El Filibustero 14 Set 2017 10:22
On Thu, 14 Sep 2017 10:06:33 +0200, El Filibustero wrote:

>>Trovare h.
>
>Assumendo R=6731000 m, h risulta sui 37 nm, SE&O. Ciao

Oooooops, h e' circa 56 cm. Ciao
El Filibustero 14 Set 2017 12:28
On Thu, 14 Sep 2017 10:22:23 +0200, El Filibustero wrote:

>Oooooops, h e' circa 56 cm. Ciao

Ossia circa 1/sqrt(pi) metri, valore limite per R tendente a infinito.
Ciao
Giorgio Bibbiani 14 Set 2017 14:45
Wakinian Tanka ha scritto:
> Terra sferica, di raggio R.
> Si assuma di poter realizzare un telo in un materiale in grado di
> deformarsi localmente mantenendo pero' invariata l'area della sua
> superficie complessiva, che e' pari a 4*pi*R^2 + 1m^2 (superficie
> esterna della Terra + 1m^2).
>
> Lo si avvolge strettamente attorno al pianeta in modo perfettamente
> aderente, finche' cio' e' possibile e il resto lo si erge a mo' di
> tenda sopra la superficie terrestre per mezzo di un palo di altezza
> h.
>
> Trovare h.

Il telo teso, dove si distacca da terra, forma un cono
circolare retto di semiapertura alfa, apotema r e
area laterale A_cono che deve superare di 1 m^2
l'area A_calotta della calotta sferica compresa
entro la base del cono e avente semiapertura teta,
sia R il raggio terrestre, l'apotema del cono e':

r = sqrt((R + h)^2 - R^2) = sqrt(2R h + h^2)

inoltre si ha:

sen(alfa) = cos(teta) = R / (R + h)
A_cono = Pi sen(alfa) r^2 = Pi R / (R + h) (2R h + h^2)
A_calotta = 2Pi R^2 (1 - cos(teta)) = 2 Pi R^2 (1 - R /(R + h))
= 2Pi R^2 h / (R + h)

la condizione richiesta e':

A_cono - A_calotta = Pi R / (R + h) h^2 = 1 m^2

che nel limite h << R implica:

h = sqrt(1/Pi) m,

che *e' giusta* in quanto gia' trovata da El Filibustero ;-).

Ciao
--
Giorgio Bibbiani
effe 14 Set 2017 18:29
Il 14/09/2017 14.45, Giorgio Bibbiani ha scritto:

> la condizione richiesta e':
>
> A_cono - A_calotta = Pi R / (R + h) h^2 = 1 m^2
>
> che nel limite h << R implica:
>
> h = sqrt(1/Pi) m,

Bello

> che *e' giusta* in quanto gia' trovata da El Filibustero ;-).

che è una garanzia :)
Wakinian Tanka 14 Set 2017 21:00
Anzitutto devo scusarmi perche' ho omesso una condizione che tutti avete dato
per scontato ma che non lo era, in base all'impostazione del problema: che il
telo sia tangente alla superficie terrestre nei punti in cui si stacca da essa.
Probabilmente cio' ne conseguirebbe automaticamente a causa delle forze in gioco
in un modello fisico, ma il telo in q.to caso ha proprieta' /molto/ particolari,
inoltre non ho asserito che non si incollasse alla superficie della Terra.

Detto questo, a me non torna il risultato di El Filibustero. A me vengono due
soluzioni: una per theta (angolo formato dal raggio terrestre in un punto di
tangenza ed il medesimo allineato con il vertice del cono, cioe' angolo di
semiapertura della calotta sferica) = 1, l'altra per theta = 3/5 --> h = 2R/3!

h = R{1/cos(theta) - 1)

Area superficie laterale del cono = pi*R^2*tan(theta) = Acono
Area superficie esterna calotta: 2pi*R^2{1/cos(theta) - 1} = Acalotta

Acono - Acalotta = 1 --> indicando con g = 1/pi*R^2; c = cos(theta):

(5-4g+g^2)c^2 + (4g-8)c + 3 = 0

trascuro g^2 rispetto a 5-4g:

--> c = 1; 3/5

Da c = cos(theta) = 1 segue h = 0.
Da c = cos(theta) = 3/5 segue h = 2R/3.

Ovviamente c'e' qualcosa che non torna, sigh!

--
Wakinian Tanka
El Filibustero 14 Set 2017 21:21
On Thu, 14 Sep 2017 12:00:01 -0700 (PDT), Wakinian Tanka wrote:

>Area superficie laterale del cono = pi*R^2*tan(theta) = Acono

no, Acono = pi*RR*tan(theta)sin(theta)

>Area superficie esterna calotta: 2pi*R^2{1/cos(theta) - 1} = Acalotta

no, Acalotta = 2*pi*RR*(1-cos(theta)). Ciao
effe 14 Set 2017 22:27
Il 14/09/2017 12.28, El Filibustero ha scritto:
> On Thu, 14 Sep 2017 10:22:23 +0200, El Filibustero wrote:
>
>> Oooooops, h e' circa 56 cm. Ciao
>
> Ossia circa 1/sqrt(pi) metri, valore limite per R tendente a infinito.

Sai come ero arrivato alla misura che ho indicato, senza riflettere come
avrei dovuto?

Ho calcolato il deltacirc tra le lunghezze delle circonferenze dei due
cerchi massimi e poi, considerando quella differenza come la differenza
della corda rispetto alla circonferenza della terra di Indovinello 2, ho
moltiplicato quella semidifferenza per radice cubica di 9/32R che salvo
errori mi dà, appunto poco più di 2 mm.
effe 14 Set 2017 23:28
Il 14/09/2017 22.27, effe ha scritto:


> quella semidifferenza per radice cubica di 9/32R che salvo
> errori mi dà, appunto poco più di 2 mm.

ma cooosa? ho sostituito ad a
Wakinian Tanka 15 Set 2017 17:06
Il giorno giovedì 14 settembre 2017 14:45:32 UTC+2, Giorgio Bibbiani ha
scritto:
> Il telo teso, dove si distacca da terra, forma un cono
> circolare retto di semiapertura alfa, apotema r e
> area laterale A_cono che deve superare di 1 m^2
> l'area A_calotta della calotta sferica compresa
> entro la base del cono e avente semiapertura teta,
> sia R il raggio terrestre, l'apotema del cono e':
> r = sqrt((R + h)^2 - R^2) = sqrt(2R h + h^2)
> inoltre si ha:
> sen(alfa) = cos(teta) = R / (R + h)
> A_cono = Pi sen(alfa) r^2 = Pi R / (R + h) (2R h + h^2)
> A_calotta = 2Pi R^2 (1 - cos(teta)) = 2 Pi R^2 (1 - R /(R + h))
> = 2Pi R^2 h / (R + h)
> la condizione richiesta e':
> A_cono - A_calotta = Pi R / (R + h) h^2 = 1 m^2
> che nel limite h << R implica:
> h = sqrt(1/Pi) m,

Alla fine viene cosi' anche a me, pero' la tua ultima approssimazione non mi
soddisfa del tutto in quanto
a priori non posso sapere se h e' trascurabile rispetto ad R.
Ciao.

--
Wakinian Tanka
Wakinian Tanka 15 Set 2017 17:19
Il giorno giovedì 14 settembre 2017 21:21:11 UTC+2, El Filibustero ha scritto:
> On Thu, 14 Sep 2017 12:00:01 -0700 (PDT), Wakinian Tanka wrote:
>
>>Area superficie laterale del cono = pi*R^2*tan(theta) = Acono
>
> no, Acono = pi*RR*tan(theta)sin(theta)
>
>>Area superficie esterna calotta: 2pi*R^2{1/cos(theta) - 1} = Acalotta
>
> no, Acalotta = 2*pi*RR*(1-cos(theta)). Ciao

Gulp! Hai ragione! Senti ma bischero che sono stato: per calcolare quelle
superfici ho usato le stesse lettere R, H del problema ma con significati
diversi! :-(

Allora: Acono - Acalotta = 1

pi*R^2 sin^2(theta) / cos(theta) - 2pi*R^2 (1-cos(theta)) = 1

indico con g = 1/pi*R^2

cos^2(theta) - (2 + g)cos(theta) + 1 = 0

-->

cos(theta) =~ 1 - sqrt(g) (trascurando g^2 rispetto a 4g).

H = R(1/cos(theta) - 1) = R*sqrt(g)/{1-sqrt(g)} =~ R*sqrt(g) =

= 1/sqrt(pi) m =~ 56,42 cm.

Interessante il fatto che per R grande l'altezza H tende ad un valore costante!

--
Wakinian Tanka
Giorgio Bibbiani 15 Set 2017 17:40
Wakinian Tanka ha scritto:
>> A_cono - A_calotta = Pi R / (R + h) h^2 = 1 m^2
>> che nel limite h << R implica:
>> h = sqrt(1/Pi) m,
>
> Alla fine viene cosi' anche a me, pero' la tua ultima approssimazione
> non mi soddisfa del tutto in quanto
> a priori non posso sapere se h e' trascurabile rispetto ad R.

Intanto grazie dell'occasione per correggere una mia
espressione imprecisa, "nel limite" non e' corretto...

E' un Ansatz, si fa l'ipotesi che valga h << R e allora dalla
formula esatta sopra si ricava il valore approssimato
h = sqrt(1/Pi) m che ovviamente a posteriori verifica l'ipotesi.

Ciao
--
Giorgio Bibbiani

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