Matematica. La regina delle scienze
 

Integrazione numerica di 3 variabili

Cristiano 25 Ago 2017 16:41
Ho 3 variabili v, b and h.
So come calcolare v’, b’ e h’.
Partendo con la simulazione da un certo stato iniziale, vorrei calcolare
il valore delle 3 variabili dopo un dato tempo e vorrei farlo usando RK4.

Se faccio i calcoli con il metodo d'Eulero scrivo:
v= v + dt * v’
b= b + dt * b’
h= h + dt * h’
ma quando devo passare a RK4 mi si complicano le cose, semplicemente
perché di equazioni differenziali ci capisco più niente che poco.

La simulazione è spiegata qui:
https://mintoc.de/index.php?title=Gravity_Turn_Maneuver

Per esempio, h’= v * cos(b) che non sembra un'equazione differenziale;
ciò significa che h= h + dt * h’ va bene e che non ha senso usare RK4?

Altro dubbio. Consideriamo il secondo passo dell'integratore RK4:
k2 = f(x + dx / 2, y + k1 / 2)
Ho che m’ = constante e v’= f(v, m).
Quando scrivo f(x, y) per calcolare k2, suppongo che devo considerare
anche m al tempo x + dx / 2, non solo v, in altre parole, f(x, y) è:
m = m_iniziale – m’ * x
v’ = g(m, v)
e non solo v’ = g(v), giusto?

Grazie
Cristiano
Archaeopteryx 25 Ago 2017 17:15
Il 25/08/2017 16:41, Cristiano ha scritto:
> Ho 3 variabili v, b and h. So come calcolare v’, b’ e
> h’. Partendo con la simulazione da un certo stato
> iniziale, vorrei calcolare il valore delle 3 variabili
> dopo un dato tempo e vorrei farlo usando RK4.
>
> Se faccio i calcoli con il metodo d'Eulero scrivo: v=
> v + dt * v’ b= b + dt * b’ h= h + dt * h’ ma quando
> devo passare a RK4 mi si complicano le cose,
> semplicemente perché di equazioni differenziali ci
> capisco più niente che poco.
>
> La simulazione è spiegata qui:
> https://mintoc.de/index.php?title=Gravity_Turn_Maneuver
>
>
>
Per esempio, h’= v * cos(b) che non sembra
> un'equazione differenziale; ciò significa che h= h +
> dt * h’ va bene e che non ha senso usare RK4?

Se il tuo sistema di equazioni è proprio quello del link,
non sembra un'equazione differenziale perché il sistema è
non lineare. Per quanto ne sapevo e ne so, RK funziona sui
sistemi lineari e per curiosità ho googlato; non riesco a
capire se RK si può adattare, ma credo di no, oppure si
possa cercare di riscrivere il sistema che magari diventa
lineare con qualche artificio/sostituzione e quindi è
affrontabile con RK.

Se invece il tuo sistema non è proprio quello, ma è
lineare, conviene, se ti è possibile, ricorrere ai vari
programmi di calcolo che possono pure farlo in forma
simbolica. Ci sono anche routines e tanto altro, dipende
da cosa devi fare.

Onestamente non mi sono mai chiesto se RK funziona anche
per sistemi non lineari, e tuttora non lo so.
Cristiano 25 Ago 2017 17:32
On 25/08/2017 17:15, Archaeopteryx wrote:
> Se il tuo sistema di equazioni è proprio quello del link,

Sì, vorrei simulare proprio quel problema.

> non sembra un'equazione differenziale perché il sistema è
> non lineare. Per quanto ne sapevo e ne so, RK funziona sui
> sistemi lineari e per curiosità ho googlato; non riesco a
> capire se RK si può adattare, ma credo di no, oppure si
> possa cercare di riscrivere il sistema che magari diventa
> lineare con qualche artificio/sostituzione e quindi è
> affrontabile con RK.

Sinceramente non mi risulta che ci sia questa limitazione.
So che la quasi totalità dei metodi d'integrazione numerica vanno bene
solo per equazioni differenziali del 1° ordine e non per quelle di
ordine superiore, ma tutte le equazioni di quella simulazione sono al 1°
ordine, per cui RK funzionerebbe, se sapessi come impostare tutta la
faccenda.

> Se invece il tuo sistema non è proprio quello, ma è
> lineare, conviene, se ti è possibile, ricorrere ai vari
> programmi di calcolo che possono pure farlo in forma
> simbolica. Ci sono anche routines e tanto altro, dipende
> da cosa devi fare.

Vorrei scrivere una semplice simulazione (in C++) per quel problema, per
cui non posso usare altri programmi. E' più un'esercitazione per capirci
qualcosa che una necessità reale.

Cristiano
Archaeopteryx 25 Ago 2017 17:40
>> non sembra un'equazione differenziale perché il
>> sistema è non lineare. Per quanto ne sapevo e ne so,
>> RK funziona sui sistemi lineari e per curiosità ho
>> googlato; non riesco a capire se RK si può adattare,
>> ma credo di no, oppure si possa cercare di riscrivere
>> il sistema che magari diventa lineare con qualche
>> artificio/sostituzione e quindi è affrontabile con
>> RK.
>
> Sinceramente non mi risulta che ci sia questa
> limitazione. So che la quasi totalità dei metodi
> d'integrazione numerica vanno bene solo per equazioni
> differenziali del 1° ordine e non per quelle di ordine
> superiore, ma tutte le equazioni di quella simulazione
> sono al 1° ordine, per cui RK funzionerebbe, se sapessi
> come impostare tutta la faccenda.

Non ho mica detto che sono di ordine superiore al primo,
ma che le tue equazioni sono non lineari, se pure del
primo ordine, dato che compaiono al massimo derivate
prime. Però sono molto arrugginito e posso sbagliare io.

La routine che cerchi esiste, ed è in C, sta su "numerical
recipes", testo che per me resta una bibbia anche se è
molto criticato da tanti. C'è un intero corposo paragrafo
su RK e la routine accetta direttamente la matrice dei
coefficienti, ovvero sistemi di equazioni.

ciao!

Apx
Cristiano 25 Ago 2017 17:51
On 25/08/2017 17:40, Archaeopteryx wrote:
> La routine che cerchi esiste, ed è in C, sta su "numerical
> recipes", testo che per me resta una bibbia anche se è
> molto criticato da tanti. C'è un intero corposo paragrafo
> su RK e la routine accetta direttamente la matrice dei
> coefficienti, ovvero sistemi di equazioni.

Ti ringrazio per la risposta, ma ho bisogno di chiarimenti in merito a
ciò che ho chiesto, perché le mie (grosse) lacune sono proprio sulle
equazioni differenziali; non ho problemi a scrivere e utilizzare un
algoritmo d'integrazione numerica.

Cristiano
Giorgio Pastore 25 Ago 2017 21:47
Il 25/08/17 17:51, Cristiano ha scritto:
>... ho bisogno di chiarimenti in merito a
> ciò che ho chiesto, perché le mie (grosse) lacune sono proprio sulle
> equazioni differenziali; non ho problemi a scrivere e utilizzare un
> algoritmo d'integrazione numerica.

Se uno non ha le idee chiare sul mondo del problema è altamente
improbabile che sia in grado di controllare un codice che dovrebbe
risolvere il problema.

Ti consiglio di seguire in suggerimento di Archeopterix e dare una
lettura alle pagine di Numerical recipies in cui descrivono RK.

Non ho tempo per scrivere un riassunto di metodi numerici di
itegrazione. Tuttavia cerco di chiarire due punti e 1/2:

1. i metodi di norma funzionano per equazioni lineari e non lineari;

2. non e' vero che la quasi totalita' dei metodi va bene solo per
equazioni del primo ordine. Il motivo per cui molto spesso sono
presentati per sistemi di eq. diff. del primo ordine e' che si dimostra
in modo b*****e che ogni equazione o sistema di ordine superiore puo'
essere trasformato in un sistema (con piu' equazioni) del prio ordine.

(1/2). Quelle che chiami variabili sono funzioni di una variabile.

Giorgio
Cristiano 25 Ago 2017 22:48
On 25/08/2017 21:47, Giorgio Pastore wrote:
> Se uno non ha le idee chiare sul mondo del problema è altamente
> improbabile che sia in grado di controllare un codice che dovrebbe
> risolvere il problema.

Specialmente con il grande aiuto ricevuto dai troll come te.
Meno male che a forza di ragionarci ho risolto da solo.

> 1. i metodi di norma funzionano per equazioni lineari e non lineari;

Tutti i metodi funzionano per equazioni di qualunque grado, senza "di
norma".
Alcuni metodi sono più adatti per equazioni di tipo particolare
(chiamate "stiff" in inglese, ma non ho tempo di spiegartelo).

> 2. non e' vero che la quasi totalita' dei metodi va bene solo per
> equazioni del primo ordine. Il motivo per cui molto spesso sono
> presentati per sistemi di eq. diff. del primo ordine e' che si dimostra
> in modo b*****e che ogni equazione o sistema di ordine superiore puo'
> essere trasformato in un sistema (con piu' equazioni) del prio ordine.

La seconda parte della frase non ha niente a che vedere con la prima.
C'è un'infinità di metodi che funzionano *solo* con equazioni
differenziali del 1° ordine e ci sono pochissimi integratori che vanno
bene per equazioni differenziali del 2° ordine.

Continua a trollare da solo, sempre se hai tempo. rotfl!

Plonk
Cristiano
Gianluca 26 Ago 2017 11:57
Il 25/08/2017 22:48, Cristiano ha scritto:

>
> La seconda parte della frase non ha niente a che vedere con la prima.
> C'è un'infinità di metodi che funzionano *solo* con equazioni
> differenziali del 1° ordine e ci sono pochissimi integratori che vanno
> bene per equazioni differenziali del 2° ordine.
>
> Continua a trollare da solo, sempre se hai tempo. rotfl!
>
> Plonk
> Cristiano

Mi sa che hai preso un granchio.
Anzi, due.
Primo perché non è un troll.
Secondo perché il punto 2 di Giorgio Pastore significa che è possibile
ricondurre una equazione differenziale di ordine (n) ad un sistema
differenziale di (n) equazioni di primo ordine (al quale è applicabile
il sitema risolutivo...).
Lo ricordo ancora anch'io.

Gianluca
Archaeopteryx 26 Ago 2017 12:12
> Secondo perché il punto 2 di Giorgio Pastore significa
> che è possibile ricondurre una equazione differenziale
> di ordine (n) ad un sistema differenziale di (n)
> equazioni di primo ordine (al quale è applicabile il
> sitema risolutivo...).

Non solo è possibile, ma quasi sempre necessario e
opportuno; non credo sia un caso se tutte le esposizioni
sull'integrazione di sistemi lineari considerano solo il
primo ordine almeno sulle ODE.

Sicuramente è possibile o anche necessario usare
direttamente le espressioni delle derivate per gli ordini
superiori ma se fosse computazionalmente tanto conveniente
è probabile che a questo tipo di strategia sarebbe
dedicato molto più spazio nei testi. Sospetto, ma solo
sospetto che l'aumento del numero delle funzioni incognite
a séguito della riduzione a sistema di primo ordine sia
sovracompensato dalla maggiore efficienza. Ovviamente so
che ci sono casi in cui almeno per il secondo ordine si
devono usare direttamente le relative espressioni alle
differenze finite.
Pinca Pallina 26 Ago 2017 12:14
Il giorno sabato 26 agosto 2017 11:57:42 UTC+2, Gianluca ha scritto:

> Secondo perché il punto 2 di Giorgio Pastore significa che è possibile
> ricondurre una equazione differenziale di ordine (n) ad un sistema
> differenziale di (n) equazioni di primo ordine (al quale è applicabile
> il sitema risolutivo...).
> Lo ricordo ancora anch'io.

Ricordala anche a me, la formula risolutiva, va', che di equazioni differenziali
lineari non ricordo più molto... Grazie in anticipo
Gianluca 26 Ago 2017 12:25
Il 26/08/2017 12:14, Pinca Pallina ha scritto:
> Ricordala anche a me, la formula risolutiva, va', che di equazioni
differenziali lineari non ricordo più molto... Grazie in anticipo
>

Non è una formula risolutiva: è un teorema che dimostra come una
equazione differenziale di ordine (n) è equivalente ad un sistema di (n)
equazioni del 1° ordine.
Le (n) equazioni del 1° ordine sono le componenti di una opportuna
funzione vettoriale che verifica il sistema.

Dovrei riportarti il teorema che ho ritrovato nel mio libro di *****isi,
ma mi risulterebbe molto difficile.

Riporto solo un punto, tratto dal libro: "... il concetto di sistema di
n equazioni differenziali del 1° ordine è più generale del concetto di
equazione differenziale di ordine n".


Gianluca
Cristiano 26 Ago 2017 12:44
On 26/08/2017 11:57, Gianluca wrote:
> Mi sa che hai preso un granchio.
> Anzi, due.
> Primo perché non è un troll.

Non è che per essere un troll ci vuole il patentino; so solo che la
risposta che ha dato a me è da troll patentato.

> Secondo perché il punto 2 di Giorgio Pastore significa che è possibile
> ricondurre una equazione differenziale di ordine (n) ad un sistema
> differenziale di (n) equazioni di primo ordine (al quale è applicabile
> il sitema risolutivo...).
> Lo ricordo ancora anch'io.

E quindi: "non e' vero che la quasi totalita' dei metodi va bene solo
per equazioni del primo ordine."?
Passo le giornate a simulare problemi d'astronomia (simulazioni degli n
corpi); è per me indispensabile sapere ciò che hai scritto e bisogna
saperlo proprio perché: "C'è un'infinità di metodi che funzionano *solo*
con equazioni differenziali del 1° ordine e ci sono pochissimi
integratori che vanno bene per equazioni differenziali del 2° ordine.",
non so se l'avete capito.

Speravo di avere chiarimenti su ciò che avevo chiesto, ma vedo che non è
il posto giusto, perché state parlando di tutto tranne di ciò che ho
chiesto.
Ringrazio Archaeopteryx per aver detto qualcosa di utile e chiudo qui.

Cristiano
pincapallinapincapallinapincap@gmail.com 26 Ago 2017 12:50
Il giorno sabato 26 agosto 2017 12:44:41 UTC+2, Cristiano ha scritto:
>
> Ringrazio Archaeopteryx per aver detto qualcosa di utile e chiudo qui.

lo ringrazierei anch'io assai volentieri, se solo avessi capito un po' cos'ha
detto. Chiudo qui anch'io, da regina degli ignoranti, destinata a rimanerlo. :-(
JTS 26 Ago 2017 13:26
On 2017-08-26 12:44, Cristiano wrote:

>
> Speravo di avere chiarimenti su ciò che avevo chiesto, ma vedo che non è
> il posto giusto, perché state parlando di tutto tranne di ciò che ho
> chiesto.
> Ringrazio Archaeopteryx per aver detto qualcosa di utile e chiudo qui.
>
> Cristiano

Che caratterino ;-)

Se ti serve ancora qualche chiarimento sulla "traduzione" dell'algoritmo
per il tuo caso particolare

>
> Altro dubbio. Consideriamo il secondo passo dell'integratore RK4:
> k2 = f(x + dx / 2, y + k1 / 2)
> Ho che m’ = constante e v’= f(v, m).
> Quando scrivo f(x, y) per calcolare k2, suppongo che devo considerare anche m
al tempo x + dx / 2, non solo v, in altre parole, f(x, y) è:
> m = m_iniziale – m’ * x
> v’ = g(m, v)
> e non solo v’ = g(v), giusto?


Non ho controllato le formule, ma ho l'impressione che k1 dovrebbe
essere moltiplicato per una qualche frazione del passo, perche' dovrebbe
essere una derivata e servirti per predire il valore delle variabili
dipendenti nel punto in cui desideri calcolare la nuova derivata. La
cosa piu' sempli ce e' se piosti il tuo riferimento per RK4 cosi' siamo
sicuri di usare la stessa notazione.

f(x,y) dovrebbe indicare tutte le funzioni che compaiono a membro destro
nel tuo sistema di equazioni differenziali, e y l'insieme delle
variabili dipendenti. Allora, ad occhio, in

k2 = f(x + dx / 2, y + k1 / 2)

y e' il valore iniziale di tutte le variabili indipendenti

Se ti interessa meno "ad occhio" e piu' precisa, ti conviene postare il
tuo riferimento per RK4. Ad ogni modo, come ha detto Giorgio, se capisci
alemno un po' cosa fa RK4 le difficolta' diminuiscono molto.
JTS 26 Ago 2017 13:30
On 2017-08-26 13:26, JTS wrote:

>
> k2 = f(x + dx / 2, y + k1 / 2)
>
> y e' il valore iniziale di tutte le variabili indipendenti
>


Correzione: *indipendenti*
JTS 26 Ago 2017 13:31
On 2017-08-26 13:30, JTS wrote:
> On 2017-08-26 13:26, JTS wrote:
>
>>
>> k2 = f(x + dx / 2, y + k1 / 2)
>>
>> y e' il valore iniziale di tutte le variabili indipendenti
>>
>
>
> Correzione: *indipendenti*
>
Ehm ... pare che non riesca a correggere!

***** *dipendenti* *****
Tommaso Russo, Trieste 26 Ago 2017 14:58
Il 26/08/2017 13:31, JTS ha scritto:
>>
>> Correzione: *indipendenti*
>>
> Ehm ... pare che non riesca a correggere!
>
> ***** *dipendenti* *****

"dipendenti" e' parola meno comune di "indipendenti", nulla di strano se
il vocabolario del correttore ortografico non la contiene :-)

--
TRu-TS
buon vento e cieli sereni
Alessandro Cara 26 Ago 2017 17:22
Il 26/08/2017 12:44, Cristiano ha scritto:
>> Mi sa che hai preso un granchio.
>> Anzi, due.
>> Primo perché non è un troll.
>
> Non è che per essere un troll ci vuole il patentino; so solo che la
> risposta che ha dato a me è da troll patentato.
>

Ho fatto l'esame.
Il tuo (troll intendesi) non lo passerebbe mai ;-)

--
ac (x=y-1)
Aborro il Killfile
(La violenza e' l'ultimo rifugio degli incapaci -Salvor *****in-)
ADPUF 26 Ago 2017 20:35
Cristiano 16:41, venerdì 25 agosto 2017:

> Ho 3 variabili v, b and h.
> So come calcolare v’, b’ e h’.
> Partendo con la simulazione da un certo stato iniziale,
> vorrei calcolare il valore delle 3 variabili dopo un dato
> tempo e vorrei farlo usando RK4.
>
> Se faccio i calcoli con il metodo d'Eulero scrivo:
> v= v + dt * v’
> b= b + dt * b’
> h= h + dt * h’
> ma quando devo passare a RK4 mi si complicano le cose,
> semplicemente perché di equazioni differenziali ci capisco
> più niente che poco.
>
> La simulazione è spiegata qui:
> https://mintoc.de/index.php?title=Gravity_Turn_Maneuver
>
> Per esempio, h’= v * cos(b) che non sembra un'equazione
> differenziale; ciò significa che h= h + dt * h’ va bene e che
> non ha senso usare RK4?


Come non è una eq.diff.?
Lo è, lo è!

La soluzione è
h= [v * cos(b)] * t + C


> Altro dubbio. Consideriamo il secondo passo dell'integratore
> RK4:
> k2 = f(x + dx / 2, y + k1 / 2)
> Ho che m’ = constante e v’= f(v, m).
> Quando scrivo f(x, y) per calcolare k2, suppongo che devo
> considerare anche m al tempo x + dx / 2, non solo v, in altre
> parole, f(x, y) è:
> m = m_iniziale – m’ * x
> v’ = g(m, v)
> e non solo v’ = g(v), giusto?


Non conosco RK4...
:-(


--
E-S °¿°
Ho plonkato tutti quelli che postano da Google Groups!
Qui è Usenet, non è il Web!
JTS 26 Ago 2017 20:50
Am 26.08.2017 um 20:35 schrieb ADPUF:

>
>
> Non conosco RK4...
> :-(
>
>

Intende il metodo di Runge-Kutta del quarto ordine. Non lo conosco bene
neanche io, per dare la risposta mi sono basato solo su questo concetto:
RK4 calcola la variazione delle funzioni nell'intervallo di integrazione
usando delle derivate calcolate nell'interno dell'intervallo (e non solo
all'inizio). Per fare questo quindi ha bisogno di stimare le funzioni
all'interno dell'intervallo usando delle derivate calcolate in punti
precedenti.

So che con questo modo di calcolare e usando dei pesi opportuni per i
"pezzi" della variazione si ottiene un metodo che converge ad ordine
piu' alto del metodo di Eulero. Non ho ben chiaro perche' l'ordine di
convergenza e' piu' alto (vagamente, mi pare possa essere collegato al
fatto che calcolare una derivata con una differenza finita centrata
converge molto piu' rapidamente che calcolarla con una differenza finita
"presa solo da una parte"). Figurati che non so neppure sotto che
condizioni e' piu' stabile ...
Ma per rispondere e' stato sufficiente.
JTS 27 Ago 2017 13:14
Am 26.08.2017 um 20:35 schrieb ADPUF:
> Cristiano 16:41, venerdì 25 agosto 2017:

>>
>> Per esempio, h’= v * cos(b) che non sembra un'equazione
>> differenziale; ciò significa che h= h + dt * h’ va bene e che
>> non ha senso usare RK4?
>
>
> Come non è una eq.diff.?
> Lo è, lo è!
>
> La soluzione è
> h= [v * cos(b)] * t + C
>
>

Questo ieri mi era sfuggito. La tua soluzione vale solo se v e b sono
costanti. In generale bisogna integrare.
Giorgio Pastore 28 Ago 2017 16:02
Il 26/08/17 12:44, Cristiano ha scritto:
....
> E quindi: "non e' vero che la quasi totalita' dei metodi va bene solo
> per equazioni del primo ordine."?
> Passo le giornate a simulare problemi d'astronomia (simulazioni degli n
> corpi); è per me indispensabile sapere ciò che hai scritto e bisogna
> saperlo proprio perché: "C'è un'infinità di metodi che funzionano *solo*
> con equazioni differenziali del 1° ordine e ci sono pochissimi
> integratori che vanno bene per equazioni differenziali del 2° ordine.",
> non so se l'avete capito.
>
> Speravo di avere chiarimenti su ciò che avevo chiesto, ma vedo che non è
> il posto giusto, perché state parlando di tutto tranne di ciò che ho
> chiesto.

Se avessi tenuto in maggior conto i limiti delle tue conoscenze e
pensato due volte a cosa avevo scritto invece di veder subito rosso
forse avresti potutto imparare qualcosa. Ma non e' un mio problema.
Buona integrazione degli n-corpi.
ADPUF 28 Ago 2017 22:11
JTS 20:50, sabato 26 agosto 2017:
> Am 26.08.2017 um 20:35 schrieb ADPUF:
>>
>> Non conosco RK4...
>> :-(
>
> Intende il metodo di Runge-Kutta del quarto ordine.


L'avevo supposto, ma pensavo fosse il nome di un programma.


> Non lo
> conosco bene neanche io, per dare la risposta mi sono basato
> solo su questo concetto: RK4 calcola la variazione delle
> funzioni nell'intervallo di integrazione usando delle
> derivate calcolate nell'interno dell'intervallo (e non solo
> all'inizio). Per fare questo quindi ha bisogno di stimare le
> funzioni all'interno dell'intervallo usando delle derivate
> calcolate in punti precedenti.
>
> So che con questo modo di calcolare e usando dei pesi
> opportuni per i "pezzi" della variazione si ottiene un metodo
> che converge ad ordine piu' alto del metodo di Eulero. Non ho
> ben chiaro perche' l'ordine di convergenza e' piu' alto
> (vagamente, mi pare possa essere collegato al fatto che
> calcolare una derivata con una differenza finita centrata
> converge molto piu' rapidamente che calcolarla con una
> differenza finita "presa solo da una parte"). Figurati che
> non so neppure sotto che condizioni e' piu' stabile ...
> Ma per rispondere e' stato sufficiente.


Io ho due o tre libri di *****isi numerica ma per i miei
giochetti col BASIC di tanti anni fa usavo metodi molto
semplici tipo il b*****e
x(n+1) = x(n)+dt*x'(n)
che so che introduce errori a gogò... ma è rapido da scrivere e
il risultato non era di importanza vitale.

Potrei andare a vedere se trovo quel teorema ma fa caldo...


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ADPUF 28 Ago 2017 22:11
JTS 13:14, domenica 27 agosto 2017:
> Am 26.08.2017 um 20:35 schrieb ADPUF:
>> Cristiano 16:41, venerdì 25 agosto 2017:
>>>
>>> Per esempio, h’= v * cos(b) che non sembra un'equazione
>>> differenziale; ciò significa che h= h + dt * h’ va bene e
>>> che non ha senso usare RK4?
>>
>>
>> Come non è una eq.diff.?
>> Lo è, lo è!
>>
>> La soluzione è
>> h= [v * cos(b)] * t + C
>>
>>
> Questo ieri mi era sfuggito. La tua soluzione vale solo se v
> e b sono costanti. In generale bisogna integrare.


Sì, per la soluzione ho esagerato un po'...

Ma è una eq. diff. anche se a secondo membro non compare la h
variabile derivata a primo membro.


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