Matematica. La regina delle scienze
 

Indecidibile dunque vera

saturni.andrea90@gmail.com 26 Ago 2017 11:16
Stante il I teorema di incompletezza di Godel secondo cui:

- -
In ogni teoria matematica T sufficientemente espressiva
da contenere l'aritmetica, se T è coerente allora
esiste una formula ben formata F tale che
né F né la sua negazione sono dimostrabili in T.
- -

Ho letto questa postilla:

- -
Tuttavia F è vera. La verità di F deriva dal fatto che
F esprime la propria indimostrabilità in T.
- -

Non capisco perché una formula F tale che né F né la sua negazione sono
dimostrabili debba essere necessariamente vera.

Chiedo a voi delucidazioni.

Grazie,
André
El Filibustero 26 Ago 2017 12:12
On Sat, 26 Aug 2017 02:16:12 -0700 (PDT), saturni.andrea90@gmail.com
wrote:

>Stante il I teorema di incompletezza di Godel secondo cui:
>
>- -
> In ogni teoria matematica T sufficientemente espressiva
> da contenere l'aritmetica, se T è coerente allora
> esiste una formula ben formata F tale che
> né F né la sua negazione sono dimostrabili in T.
>- -
>
>Ho letto questa postilla:
>
>- -
> Tuttavia F è vera. La verità di F deriva dal fatto che
> F esprime la propria indimostrabilità in T.
>- -
>
>Non capisco perché una formula F tale che né F né la sua negazione
>sono dimostrabili debba essere necessariamente vera.

Perche' si fa una certa confusione tra "vera" e "dimostrabile".

Premetto intanto che l'esistenza di proposizioni ne' dimostrabili ne'
refutabili (cioe' tali che la loro negazione e' dimostrabile) e' la
*norma* in un sistema formale, anche non sufficientemente espressivo.
Di per se', la parte precedente la postilla non ha nulla di
sorprendente.

Un esempio molto semplice di questo concetto e' la teoria elementare G
dei gruppi: la proposizione xy=yx non e' ne' dimostrabile ne'
refutabile, in quanto G ammette modelli di gruppi abeliani, ma anche
non abeliani. Se un matematico non avesse mai avuto idea che esistono
anche operazioni non commutative, sarebbe sorpreso nel constatare che
la dimostrazione di xy=yx che gli sembra cosi' ovvia non salta mai
fuori in G; ma cosi' non e', perche' tutti sanno dell'esistenza di
gruppi non abeliani.

Le cose vanno diversamente con l'aritmetica degli assioni di Peano.
Noi siamo intuitivamente convinti che se una proposizione aritmetica
P(x) e' teorema sostituendo a x un numerale qualsiasi, allora deve
essere dimostrabile anche la proposizione (per ogni x)P(x). Questa e'
la cosiddetta interpretazione standard dell'aritmetica di Peano.

Il colpo di genio di Goedel e' aver scoperto che l'aritmetica di Peano
non e' cosi'... categorica. Per fare un parallelo con quanto detto
sopra, e' come se avesse esibito l'esistenza di un gruppo non abeliano
a chi era convinto che tutti i gruppi dovessero essere abeliani.

Comunque la postilla deve essere correttamente formulata:

> Tuttavia F è vera.

*secondo l'interpretazione standard*: F potrebbe essere benissimo
falsa in interpretazioni non-standard.

>La verità di F deriva dal fatto che F esprime la propria indimostrabilità in
T.

Direi l'esatto viceversa: e' la supposta validita' intuitiva del
modello standard a comportare che ne' F ne' nonF sono dimostrabili in
T. Abbandonando il modello standard, F (o nonF) potrebbe essere
addirittura assunta come assioma. Ciao

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