Matematica. La regina delle scienze
 

Ambiguità nell'uso comune della notazione per le fu

piergiorgio.benenati@gmail.com 21 Ago 2017 16:02
Ciao,

c'è qualcuno in grado di risolvere questa semplicissima questione?

Perché la notazione usata da tutti per definire, con dominio e codominio, una
funzione di due (o più) variabili coincide con quella usata per una funzione di
una variabile appartanemente all'insieme del prodotto cartesiano dei domini
delle due (o più) variabili? Non dovrebbe essere così...

Mi spiego meglio con un esempio. Supponiamo di avere f: RxR -> R (o se volete f:
R^2 -> R). Tipicamente una funzione f di questo tipo potrà essere, stando
all'uso comune, per esempio "f(x,y)=x^2+y^2". Tuttavia la funzione in questione
non dovrebbe essere di due variabili, perché il dominio è l'insieme delle
coppie ordinate di R, e dovrebbe essere un insieme di una variabile, la coppia
appunto. Quindi al posto di scrivere "f(x,y)", dovrei scrivere "f((x,y))".

Non capisco il rigore nell'uso comune della notazione per il dominio.
Grazie
P.
Elio Fabri 21 Ago 2017 21:57
piergiorgio.benenati@gmail.com ha scritto:
> Mi spiego meglio con un esempio. Supponiamo di avere f: RxR -> R (o se
> volete f: R^2 -> R). Tipicamente una funzione f di questo tipo potrà
> esser= e, stando all'uso comune, per esempio "f(x,y)=x^2+y^2".
> Tuttavia la funzione in questione non dovrebbe essere di due
> variabili, perché il dominio è l'insieme delle coppie ordinate di R,e
> dovrebbe essere un insieme di una variabile, la coppia appunto. Quindi
> al posto di scrivere "f(x,y)", dovrei scrivere "f((x,y))".
La tua osservazione è sensata.
La prima spiegzione è che la matematica evolve, e si porta dietro usi
(in particolare notazioni) ormai consolidati anche se non del tutto in
linea con un punto di vista più moderno.
La seconda è che quello che dici non è del tutto vero...

Comincio dalla seconda.
Nella notazione di una funzione la parentesi non è necessaria. C'è chi
non la usa, e in certi casi non la usa nessuno: per es. quando si ha a
che fare con quelli che si chiamano "operatori", ma non sono altro che
particolari funzioni, aventi particoalri domini.

Quindi la funzione R-->R che di solito si scrive f(x) = x^2, andrebbe
correttamente scritta così:

f: R-->R, x |--> fx = x^2.

Nota "fx", senza parentesi.
Infatti la parentesi a che serve?
Se la metti così, la scrittura f(x,y) va letta così: la funzione f è
applicata (valutata), senza parentesi, all'elemento (x,y) del suo
dominio.
La parentesi c'è perché indica la *coppia*, non perché debba circondare
l'argomento o gli argomenti della funzione (che sarebbe l'uso antico).

Un altro punto di vista richiede un discorso più lungo e una notazione
più complessa.
1) Il dominio del tuo esempio è R^2, insieme delle coppie ordinate di
reali.
2) In termini astratti, il dominio lo chiamiano D e i suoi elementi li
chiamiamo "punti": p, q, ...
3) Quindi la funzione è f: D-->R, ma se la vuoi descrivere
esattamente, spiegando qual è la sua valutazione su un determinato p,
devi introdurre certe funzioni speciali, che esistono sempre per certi
tipi di spazi, detti "varietà": le "funzioni coordinate".
5) Nota il capovolgimento: invece di vedere il punto p come definito
dalle sue coordinate, lo consideri definito in astratto, e poi gli
"assegni" due coordinate.
6) Le coordinate sono due funzioni D-->R: se p=(u,v), una è

x: D-->R, p |--> x(p) = u;

l'altra ovviamente è

y: D-->R, p |--> y(p) = v.

(Nota che qui mi sono conformato all'uso delle parentesi, ma avrei
anche potuto non farlo.
Nota anche che x, y *non sono* numeri reali: sono *simboli di
funzioni* a valori reali.)

7) Ciò fatto, la funzione f andrebbe definita come funzione composta:
f: D-->R, p |--> f(p) = x(p)^2 + y(p)^2.
(E' una funzione composta, perché parti da p:
- calcoli x(p) e y(p) (reali)
- di entrambi fai il quadrato x(p)^2, y(p)^2
- infine fai la somma x(p)^2 + y(p)^2.)

Vedi da te quanto sia pesante procedere così...
Quindi si usano delle scorciatoie, che non creano danni salvo casi
particolari.
Quando è necessario, un matematico sa come fare le cose per bene :-)


--
Elio Fabri
piergiorgio.benenati@gmail.com 22 Ago 2017 15:08
Il giorno lunedì 21 agosto 2017 22:00:38 UTC+2, Elio Fabri ha scritto:
> piergiorgio.benenati@gmail.com ha scritto:
>> Mi spiego meglio con un esempio. Supponiamo di avere f: RxR -> R (o se
>> volete f: R^2 -> R). Tipicamente una funzione f di questo tipo potrà
>> esser= e, stando all'uso comune, per esempio "f(x,y)=x^2+y^2".
>> Tuttavia la funzione in questione non dovrebbe essere di due
>> variabili, perché il dominio è l'insieme delle coppie ordinate di R,e
>> dovrebbe essere un insieme di una variabile, la coppia appunto. Quindi
>> al posto di scrivere "f(x,y)", dovrei scrivere "f((x,y))".
> La tua osservazione è sensata.
> La prima spiegzione è che la matematica evolve, e si porta dietro usi
> (in particolare notazioni) ormai consolidati anche se non del tutto in
> linea con un punto di vista più moderno.
> La seconda è che quello che dici non è del tutto vero...
>
> Comincio dalla seconda.
> Nella notazione di una funzione la parentesi non è necessaria. C'è chi
> non la usa, e in certi casi non la usa nessuno: per es. quando si ha a
> che fare con quelli che si chiamano "operatori", ma non sono altro che
> particolari funzioni, aventi particoalri domini.
>
> Quindi la funzione R-->R che di solito si scrive f(x) = x^2, andrebbe
> correttamente scritta così:
>
> f: R-->R, x |--> fx = x^2.
>
> Nota "fx", senza parentesi.
> Infatti la parentesi a che serve?
> Se la metti così, la scrittura f(x,y) va letta così: la funzione f è
> applicata (valutata), senza parentesi, all'elemento (x,y) del suo
> dominio.
> La parentesi c'è perché indica la *coppia*, non perché debba circondare
> l'argomento o gli argomenti della funzione (che sarebbe l'uso antico).
>
> Un altro punto di vista richiede un discorso più lungo e una notazione
> più complessa.
> 1) Il dominio del tuo esempio è R^2, insieme delle coppie ordinate di
> reali.
> 2) In termini astratti, il dominio lo chiamiano D e i suoi elementi li
> chiamiamo "punti": p, q, ...
> 3) Quindi la funzione è f: D-->R, ma se la vuoi descrivere
> esattamente, spiegando qual è la sua valutazione su un determinato p,
> devi introdurre certe funzioni speciali, che esistono sempre per certi
> tipi di spazi, detti "varietà": le "funzioni coordinate".
> 5) Nota il capovolgimento: invece di vedere il punto p come definito
> dalle sue coordinate, lo consideri definito in astratto, e poi gli
> "assegni" due coordinate.
> 6) Le coordinate sono due funzioni D-->R: se p=(u,v), una è
>
> x: D-->R, p |--> x(p) = u;
>
> l'altra ovviamente è
>
> y: D-->R, p |--> y(p) = v.
>
> (Nota che qui mi sono conformato all'uso delle parentesi, ma avrei
> anche potuto non farlo.
> Nota anche che x, y *non sono* numeri reali: sono *simboli di
> funzioni* a valori reali.)
>
> 7) Ciò fatto, la funzione f andrebbe definita come funzione composta:
> f: D-->R, p |--> f(p) = x(p)^2 + y(p)^2.
> (E' una funzione composta, perché parti da p:
> - calcoli x(p) e y(p) (reali)
> - di entrambi fai il quadrato x(p)^2, y(p)^2
> - infine fai la somma x(p)^2 + y(p)^2.)
>
> Vedi da te quanto sia pesante procedere così...
> Quindi si usano delle scorciatoie, che non creano danni salvo casi
> particolari.
> Quando è necessario, un matematico sa come fare le cose per bene :-)
>
>
> --
> Elio Fabri

Grazie Elio per la tua risposta.
Capisco il punto, chiaramente esiste almeno un modo per rendere tutto più
formale e ciò che si fa è appunto un lieve abuso notazionale per evitare una
notazione troppo pesante.

Sulla prima questione, quella della funzione utilizzata per gli operatori, non
sono realmente d'accordo. È chiaro che ciò che scrivi ha tutto il suo senso,
intendiamoci e gli operatori si usano in quel modo come alcune funzioni. Ciò su
cui non sono d'accordo è che nell' *uso comune* quando si scrive una funzione
di due variabile si intende usarla come un operatore con la coppia ordinata. La
"dimostrazione"? Basta prendere qualsiasi testo didattico dove nello stesso
problema si parla di funzioni di due o più variabili e di una variabile
soltanto (per esempio in geometria curve nel piano descritte da f(x,y) e da
g(t)), e lì si vede che quando c'è una funzione con un'unica variabile tutti
usano ancora le parentesi anziché ometterle. Quindi, nonostante la questione
degli operatori abbia senso, nell'uso comune c'è solo e soltanto un abuso
notazionale a mio avviso.

Grazie
Ciao
P.
Elio Fabri 27 Ago 2017 16:01
piergiorgio.benenati@gmail.com ha scritto:
> Ciò su cui non sono d'accordo è che nell' *uso comune* quando si
> scrive una funzione di due variabile si intende usarla come un
> operatore con la coppia ordinata. La "dimostrazione"? Basta prendere
> qualsiasi testo didattico dove nello stesso problema si parla di
> funzioni di due o più variabili e di una variabile soltanto (per
> esempio in geometria curve nel piano descritte da f(x,y) e da g(t)),
> e lì si vede che quando c'è una funzione con un'unica variabile
> tutti usano ancora le parentesi anziché ometterle. Quindi,
> nonostante la questione degli operatori abbia senso, nell'uso comune
> c'è solo e soltanto un abuso notazionale a mio avviso.
Primo: non farmi dire cose che non ho detto.
Non ho mai sostenuto che ci sia un "uso comune" secondo ciò che ti ho
spiegato.
Al contrario: ho detto che questo sarebbe l'uso *corretto*, ma che ci
sono tradizioni ecc. che vanno in un'altra direzione.
Del resto stai tranquillo: nepure io sopprimo le parentesi in
scritture come f(x) :-)

Secondo: non sono sicuro che tu abbia capito il mio accenno agli
operatori.
Al solito, il problema è che non so a che livello sei, quanta
matematica conosci...
Potrei farti esempi a volontà, ma non so se li capiresti, quindi mi
astengo.


--
Elio Fabri
piergiorgio.benenati@gmail.com 28 Ago 2017 17:01
> Primo: non farmi dire cose che non ho detto.
> Non ho mai sostenuto che ci sia un "uso comune" secondo ciò che ti ho
> spiegato.
> Al contrario: ho detto che questo sarebbe l'uso *corretto*, ma che ci
> sono tradizioni ecc. che vanno in un'altra direzione.
> Del resto stai tranquillo: nepure io sopprimo le parentesi in
> scritture come f(x) :-)

Quando si scrive si interpreta il messaggio dell'altro. Non è mia intenzione
malinterpretare e allora cerco di spiegarmi meglio.
Quando tu scrivi

"Quindi la funzione R-->R che di solito si scrive f(x) = x^2, andrebbe
correttamente scritta così:

f: R-->R, x |--> fx = x^2.

Nota "fx", senza parentesi.
Infatti la parentesi a che serve?
Se la metti così, la scrittura f(x,y) va letta così: la funzione f è
applicata (valutata), senza parentesi, all'elemento (x,y) del suo
dominio.
La parentesi c'è perché indica la *coppia*, non perché debba circondare
l'argomento o gli argomenti della funzione (che sarebbe l'uso antico)."

...io semplicemente penso che chi scrive f(x,y), ancorché possa stare scrivendo
qualcosa che può essere matematicamente corretto (con la tua interpretazione
qui sopra, appunto), a mio avviso non pensa affatto a quella interpretazione.
Piuttosto ripete ciò che ha visto in altri contesti senza riflettere sulla
notazione e vede (come si fa se vuoi nella programmazione), quella f
semplicemente come funzione di due variabili, non perché come scrivi tu "la
funzione f è applicata (valutata), senza parentesi, all'elemento (x,y) del suo
dominio. ". Ripeto, quello che scrivi tu è perfattamente sensato, io credo solo
che quasi tutte le persone che scrivono f(x,y) non vedono le cose in questo
modo.

In conclusione, la mia è solo un'opinione sull'opinione comune di chi scrive
"f(x,y)" (che poi infatti scrive anche "f(x)").

>
> Secondo: non sono sicuro che tu abbia capito il mio accenno agli
> operatori.
> Al solito, il problema è che non so a che livello sei, quanta
> matematica conosci...
> Potrei farti esempi a volontà, ma non so se li capiresti, quindi mi
> astengo.

Credo di aver capito, ti ringrazio.

Ciao!
P.
piergiorgio.benenati@gmail.com 28 Ago 2017 17:26
> In conclusione, la mia è solo un'opinione sull'opinione comune di chi scrive
"f(x,y)" (che poi infatti scrive anche "f(x)").

Un'opinione su ciò che ha in mente comunemente chi scrive "f(x,y)". Questo è
che intendo dire.

P.
ADPUF 28 Ago 2017 22:12
piergiorgio.benenati@gmail.com 16:02, lunedì 21 agosto 2017:
>
> Perché la notazione usata da tutti per definire, con dominio
> e codominio, una funzione di due (o più) variabili coincide
> con quella usata per una funzione di una variabile
> appartanemente all'insieme del prodotto cartesiano dei domini
> delle due (o più) variabili? Non dovrebbe essere così...
>
> Mi spiego meglio con un esempio. Supponiamo di avere f: RxR
> -> R (o se volete f: R^2 -> R). Tipicamente una funzione f di
> questo tipo potrà essere, stando all'uso comune, per esempio
> "f(x,y)=x^2+y^2". Tuttavia la funzione in questione non
> dovrebbe essere di due variabili, perché il dominio è
> l'insieme delle coppie ordinate di R, e dovrebbe essere un
> insieme di una variabile, la coppia appunto. Quindi al posto
> di scrivere "f(x,y)", dovrei scrivere "f((x,y))".
>
> Non capisco il rigore nell'uso comune della notazione per il
> dominio.


La gran parte delle notaz.ni sono "stenografie" di espressioni
verbali, per cui non sempre sono rigorose e logiche, come nn
lo sono le abbr. che 1 fa q.do prende app.ti.

Scrivere una doppia coppia di parentesi f((x,y)) sarebbe più
corretto ma la comprensibilità è uguale e la fatica
maggiore...

Che poi uno potrebbe dire che l'n-pla non ha bisogno di essere
racchiusa da parentesi ma solo delle (n-1) virgole tra gli
elementi...


=====
Una ambiguità cui pochi fanno cenno è:
f(x) vuol dire
1) la funzione f: R -> R
2) il valore che la funzione assume nel punto x

Alcuni nel caso 1) usano la notazione f(·) lasciando indefinito
il "nome" della variabile indipendente.


--
E-S °¿°
Ho plonkato tutti quelli che postano da Google Groups!
Qui è Usenet, non è il Web!
piergiorgio.benenati@gmail.com 28 Ago 2017 22:42
> Scrivere una doppia coppia di parentesi f((x,y)) sarebbe più
> corretto ma la comprensibilità è uguale e la fatica
> maggiore...
>
Sì, è quello che dico io, puntando focalizzandomi però sul fatto che non c'è
consapevolezza nella stragrande maggioranza dei casi in chi usa questa
notazione.

> =====
> Una ambiguità cui pochi fanno cenno è:
> f(x) vuol dire
> 1) la funzione f: R -> R
> 2) il valore che la funzione assume nel punto x
>
> Alcuni nel caso 1) usano la notazione f(·) lasciando indefinito
> il "nome" della variabile indipendente.
>
Per me f(x) vuol dire solo la 2). Poi c'è anche il mapping "x |--> f(x)"
altrimenti.

Grazie
Ciao,
P.
piergiorgio.benenati@gmail.com 29 Ago 2017 00:16
> La gran parte delle notaz.ni sono "stenografie" di espressioni
> verbali, per cui non sempre sono rigorose e logiche, come nn
> lo sono le abbr. che 1 fa q.do prende app.ti.
>
> Scrivere una doppia coppia di parentesi f((x,y)) sarebbe più
> corretto ma la comprensibilità è uguale e la fatica
> maggiore...
>

Sì, è quello che dico io, focalizzandomi però sulla mancanza di
consapevolezza nella stragrande maggioranza delle persone che scrivono "f(x,y)".


> =====
> Una ambiguità cui pochi fanno cenno è:
> f(x) vuol dire
> 1) la funzione f: R -> R
> 2) il valore che la funzione assume nel punto x
>
> Alcuni nel caso 1) usano la notazione f(·) lasciando indefinito
> il "nome" della variabile indipendente.
>

f(x) è il valore che la funzione assume per l'elemento x del suo dominio, altri
usi non sono corretti (cioè sola la (2) è corretta). Altrimenti c'è anche il
mapping "x |--> f(x)".

Grazie
Ciao,
P.
Wakinian Tanka 29 Ago 2017 01:22
Il giorno lunedì 21 agosto 2017 16:02:51 UTC+2, piergiorgi...@gmail.com ha
scritto:
...
>
> Mi spiego meglio con un esempio. Supponiamo di avere f: RxR -> R (o se volete
> f: R^2 -> R). Tipicamente una funzione f di questo tipo potrà essere, stando
> all'uso comune, per esempio "f(x,y)=x^2+y^2". Tuttavia la funzione in
> questione non dovrebbe essere di due variabili, perché il dominio è
l'insieme
> delle coppie ordinate di R, e dovrebbe essere un insieme di una variabile, la
> coppia appunto. Quindi al posto di scrivere "f(x,y)", dovrei scrivere
> "f((x,y))".
>
Puoi fare uno o piu' esempi in cui c'e' ambiguita' sostanziale di
interpretazione?
Grazie.

--
Wakinian Tanka
piergiorgio.benenati@gmail.com 29 Ago 2017 02:05
Il giorno martedì 29 agosto 2017 01:22:38 UTC+2, Wakinian Tanka ha scritto:
> Il giorno lunedì 21 agosto 2017 16:02:51 UTC+2, piergiorgi...@gmail.com ha
scritto:
> ...
>>
>> Mi spiego meglio con un esempio. Supponiamo di avere f: RxR -> R (o se
volete
>> f: R^2 -> R). Tipicamente una funzione f di questo tipo potrà essere,
stando
>> all'uso comune, per esempio "f(x,y)=x^2+y^2". Tuttavia la funzione in
>> questione non dovrebbe essere di due variabili, perché il dominio è
l'insieme
>> delle coppie ordinate di R, e dovrebbe essere un insieme di una variabile,
la
>> coppia appunto. Quindi al posto di scrivere "f(x,y)", dovrei scrivere
>> "f((x,y))".
>>
> Puoi fare uno o piu' esempi in cui c'e' ambiguita' sostanziale di
interpretazione?
> Grazie.
>
> --
> Wakinian Tanka

Non c'è una "ambiguità *sostanziale* di interpretazione".
C'è piuttosto un abuso notazionale molto comune perché quando si scrive "f :
R^2->R" per esempio, si usa la funzione in questione scrivendo "f(x,y)" solo con
una coppia di parentesi anziché due coppie (scrivendo cioè "f((x,y))"), senza
avere la consapevolezza che quella singola coppia di parentesi non può che
essere quella per denotare una coppia ordinata di variabili reali dell'insieme
di dominio RxR -- e non la coppia di parentesi che si usa di solito per denotare
comunemente gli argomenti di una funzione. In altre parole, come diceva Elio si
scrive "f(x,y)" usando "f" come un operatore e "(x,y)" è quindi l'elemento del
dominio RxR con cui lo si usa, ma (aggiungo io) lo si fa tipicamente senza
sapere cosa si sta facendo, senza consapevolezza, ritenendo la singola coppia di
parentesi "f(x,y)" esattamente con la stessa semantica di quelle per denotare
l'argomento di una funzione, parentesi quindi non diverse da quelle di "g(t)"
(se per esempio si parla per esempio di una funzione "g" da R in R).

Quelle usate in "g(t)" denotano l'argomento della funzione "g", quelle usate in
"f(x,y)" invece non possono denotare gli argomenti della funzione "f", se,
appunto, f è definita precedentemente scrivendo "f : R^2->R". Possono solo
denotare una coppia ordinata del dominio R^2.

Nulla di *sostanziale* quindi, ma un abuso notazionale tanto comune quanto
inconsapevole.

Ciao,
P.

Ciao
P.
PInca Pallina 29 Ago 2017 14:26
Il giorno martedì 29 agosto 2017 02:05:21 UTC+2, piergiorgi...@gmail.com ha
> Nulla di *sostanziale* quindi, ma un abuso notazionale tanto comune quanto
inconsapevole.

Nulla di inconsapevole, tutto pensato, soppesato e voluto. Scusa l'OT.
ciao
piergiorgio.benenati@gmail.com 29 Ago 2017 20:49
Il giorno martedì 29 agosto 2017 14:26:23 UTC+2, PInca Pallina ha scritto:
> Il giorno martedì 29 agosto 2017 02:05:21 UTC+2, piergiorgi...@gmail.com ha
>> Nulla di *sostanziale* quindi, ma un abuso notazionale tanto comune quanto
inconsapevole.
>
> Nulla di inconsapevole, tutto pensato, soppesato e voluto. Scusa l'OT.
> ciao

Quindi quando si scrive qualcosa come:

"If f(x,y)=x^2+y and g(z)=2z, where f: R^2->R and g: R->R, then we have
f(1,3)=g(2)."

davvero tipicamente si pensa alle parentesi di fianco alla "f" come a quelle di
una coppia ordinata "(x,y)" elemento del dominio di "f", mentre a quelle di
fianco a "g" come parentesi con una semantica differente, i.e. l'introduzione
dell'argomento della funzione "g"?
Davvero chi scrive fa questa distinzione e pensa così? :D

Ciao
P.
Wakinian Tanka 30 Ago 2017 17:49
Il giorno martedì 29 agosto 2017 02:05:21 UTC+2, piergiorgi...@gmail.com ha
scritto:
> Il giorno martedì 29 agosto 2017 01:22:38 UTC+2, Wakinian Tanka ha scritto:
>>
>> Puoi fare uno o piu' esempi in cui c'e' ambiguita' sostanziale di
>> interpretazione?
>> Grazie.
>
> Non c'è una "ambiguità *sostanziale* di interpretazione".
> C'è piuttosto un abuso notazionale molto comune perché quando si scrive
> "f : R^2->R" per esempio, si usa la funzione in questione scrivendo "f(x,y)"
> solo con una coppia di parentesi anziché due coppie (scrivendo cioè
> "f((x,y))"),

... che però non comporta alcuna ambiguità di interpretazione

> senza avere la consapevolezza che quella singola coppia di parentesi non può
> che essere quella per denotare una coppia ordinata di variabili reali

E io invece la considero invece come quella che racchiude le 2 variabili ed
assumo la convenzione che nella scrittura "f(x,y)" scrivo la x per prima e la y
per seconda /in quanto la x e' la prima componente del vettore (x,y) ed y la
seconda/.
Mi potresti chiedere se sono sicuro che anche gli altri usino questa
convenzione. Ti risponderei che finora non ho trovato un singoli caso in cui
qualcuno intendesse l'opposto.

--
Wakinian Tanka
Wakinian Tanka 30 Ago 2017 18:03
Il giorno mercoledì 30 agosto 2017 17:49:56 UTC+2, Wakinian Tanka ha scritto:

> Mi potresti chiedere se sono sicuro che anche gli altri usino questa
> convenzione. Ti risponderei che finora non ho trovato un singolo caso in cui
> qualcuno intendesse l'opposto.
>
... percio' se mi fossi imbattuto in una ambiguita' sostanziale il problema lo
avrei automaticamente risolto definendo la notazione utilizzata. Non e' quello
che facciamo tutti quando impostiamo un problem, tipo
"Sia: m la massa, T l' energia cinetica" ( poteva essere la temperatura...),
oppure quando scriviamo diversi livelli di parentesi per chiarire come
interpretare i calcoli come in [(x+y)^2 - 2y]^3 o x/(y*z) invece che x/y*z ?

--
Wakinian Tanka
piergiorgio.benenati@gmail.com 30 Ago 2017 20:47
Di ambiguità **sostanziali** non ce ne sono. Forse non è nemmeno ambiguità il
termine giusto. Quello giusto è, come ho scritto

"abuso notazionale nell'uso comune unito a un'inconsapevolezza
nell'interpretazione rigorosa di ciò che si scrive",

in particolare da chi fa scienza e scrive articoli usando la matematica ma non
è "matematico di professione", per non parlare di chi è studente (anche al
liceo).

Io non sto mettendo in dubbio cosa pensa chi scrive alcune formule tra chi
partecipa a questa discussione. Io sto solo dicendo che chi là fuori scrive
"f(x,y)=g(x)+h(y)", pensa che le parentesi dopo il nome di una funzione siano
**sempre** quelle per introdurre gli argomenti, anche quando la funzione f è
definita per esempio così "f: R^2 ->R", e il suo dominio è quindi un insieme
di coppie ordinate di numeri reali. Se fossero quelle per introdurre gli
argomenti, ebbene, l'argomento di f in questo caso è la coppia ordinata e si
dovrebbe scrivere "f( (x,y) )", ma non è così.

Il fatto che possa essere poi corretto ugualmente scrivere "f(x,y)" pensando per
esempio a f come un operatore unario e (x,y) come l'operando, è una cosa che
tipicamente ****non**** è nella mente di chi scrive "f(x,y)".

Ciao
P.
Wakinian Tanka 31 Ago 2017 17:52
Il giorno mercoledì 30 agosto 2017 20:47:18 UTC+2, piergiorgi...@gmail.com ha
scritto:
>
>
> Io non sto mettendo in dubbio cosa pensa chi scrive alcune formule tra chi
> partecipa a questa discussione. Io sto solo dicendo che chi là fuori scrive
> "f(x,y)=g(x)+h(y)", pensa che le parentesi dopo il nome di una funzione siano
> **sempre** quelle per introdurre gli argomenti, anche quando la funzione f è
> definita per esempio così "f: R^2 ->R", e il suo dominio è quindi un insieme
> di coppie ordinate di numeri reali. Se fossero quelle per introdurre gli
> argomenti, ebbene, l'argomento di f in questo caso è la coppia ordinata e si
> dovrebbe scrivere "f( (x,y) )", ma non è così.
>
A parte il fatto che non so come tu possa sapere cosa e' nella mente di un
ricercatore, non hsi risposto alla mia osservazione:
e se intendessero che le parentesi racchiudono le variabili /e allo stesso
tempo/ assumessero, nella scrittura f(x,y), di scrivere per prima la componente
e^1 e per seconda la componente e^2 del vettore a*e^1+b*e^2? In questo caso ci
sarebbe sempre un abuso di notazione?

--
Wakinian Tanka
piergiorgio.benenati@gmail.com 31 Ago 2017 22:46
> A parte il fatto che non so come tu possa sapere cosa e' nella mente di un
ricercatore, non hsi risposto alla mia osservazione:
> e se intendessero che le parentesi racchiudono le variabili /e allo stesso
tempo/ assumessero, nella scrittura f(x,y), di scrivere per prima la componente
e^1 e per seconda la componente e^2 del vettore a*e^1+b*e^2? In questo caso ci
sarebbe sempre un abuso di notazione?
>
> --
> Wakinian Tanka

Come scrivi tu, nessuno può sapere cosa c'è nelle mente di **un** ricercatore,
o di **uno** studente del liceo, perché significa avere un quadro complessivo
di ciò che pensa la maggior parte delle persone che appartengono ad alcuni
insiemi enormi. Io però posso avere un'opinione nel merito, che è quella che
ho scritto, anche se non posso avere certezze.

Poi, di interpretazioni sensate che corrispondono alla notazione comunemente
usata per denotrare una funziona di due variabili se ne possono *inventare*
tante. Basta dire semplicemente quello che viene insegnato appunto alle medie
inferiori o superiori:

<<Quando abbiamo una funzione di due varibiali, tra la parentesi si elencano in
ordine gli argomenti di sinistra e destra e stop, fine>>.

Detto questo (ed è ciò che gli insegnanti dicono davvero) la questione
dell'interpretazione sarebbe già chiusa... se non fosse che, come ho detto, nel
momento in cui
1) si dice quanto ho appena scritto,
2) si anche definisce il concetto di dominio di una funzione, e
3) si dice anche che il dominio è (per esempio) RxR,
allora "gli argomenti della funzione" sono in tutto *uno solo*: la coppia
appartenente a RxR. Da qui il concetto di mancanza di rigore nonostante non
tutti sono d'accordo nell'interpretare la scrittura "f(x,y)".

È chiaro che tutti capiamo cosa si scrive, ma manca il rigore matematico,
perché si sta usando una *convenzione* ad hoc per il concetto in questione.

E quindi sì, anche nell'esempio che hai appena fatto, ci sarebbe un abuso di
notazione, perché gli argomenti dovrebbero essere (stando alla notazione
comunemente accettata) un elenco ordinato del dominio. Ma un elemento dello
spazio vettoriale RxR andrebbe scritto non solo tra parentesi (giusto?), ma
anche in verticale - oppure tra parentesi e trasposto, i.e. "f( (x,y)^T )".


Questo sarebbe consistente e corerente con le regole generali per denotare
funzioni, domini di funzione, insiemi risultanti da un prodotto cartesiano di
insiemi, spazi vettoriali e vettori. Di nuovo però, è sufficiente ****assumere
convenzionalmente**** che il vettore venga scritto (i) in orizzontale e (ii)
senza parentesi, e tutto fila, ma va beh... di assunzioni sensate, come ho
detto, allora ne possiamo inventare tante. Io volevo una notazione che non
dovesse fare leva su alcuna assunzione.

Non credo sia del tutto chiaro il problema che ho sollevato che riguarda
l'interpretazione rigorosa della notazione comunemente usata per la funzione di
due variabili basata soltanto sulle regole notazionali ben note e accettate da
tutti, **senza assunzioni aggiungive** (per quanto sensate)... peccato.

Ciao,
P.
piergiorgio.benenati@gmail.com 31 Ago 2017 22:55
> A parte il fatto che non so come tu possa sapere cosa e' nella mente di un
ricercatore, non hsi risposto alla mia osservazione:
> e se intendessero che le parentesi racchiudono le variabili /e allo stesso
tempo/ assumessero, nella scrittura f(x,y), di scrivere per prima la componente
e^1 e per seconda la componente e^2 del vettore a*e^1+b*e^2? In questo caso ci
sarebbe sempre un abuso di notazione?
>
> --
> Wakinian Tanka

Come scrivi tu, nessuno può sapere cosa c'è nelle mente di **un** ricercatore,
o di **uno** studente del liceo, perché significa avere un quadro complessivo
di ciò che pensa la maggior parte delle persone che appartengono ad alcuni
insiemi enormi. Io però posso avere un'opinione nel merito, che è quella che
ho scritto, anche se non posso avere certezze.

Poi, di interpretazioni sensate che corrispondono alla notazione comunemente
usata per denotare una funzione di due variabili se ne possono *inventare*
tante. Basta dire semplicemente quello che viene insegnato appunto alle medie
inferiori o superiori:

<<Quando abbiamo una funzione di due varibiali, tra la parentesi si elencano in
ordine gli argomenti di sinistra e destra e stop, fine>>.

Detto questo (ed è ciò che gli insegnanti dicono davvero) la questione
dell'interpretazione sarebbe già chiusa... se non fosse che, come ho detto, nel
momento in cui
1) si dice quanto ho appena scritto,
2) si anche definisce il concetto di dominio di una funzione, e
3) si dice anche che il dominio è (per esempio) RxR,
allora "gli argomenti della funzione" sono in tutto *uno solo*: la coppia
appartenente a RxR. Da qui il concetto di mancanza di rigore nonostante non
tutti sono d'accordo nell'interpretare la scrittura "f(x,y)".

È chiaro che tutti capiamo cosa si scrive, ma manca il rigore matematico,
perché si sta usando una *convenzione* ad hoc per il concetto in questione.

E quindi sì, anche nell'esempio che hai appena fatto, ci sarebbe un abuso di
notazione, perché gli argomenti dovrebbero essere (stando alla notazione
comunemente accettata) un elenco ordinato del dominio. Ma un elemento dello
spazio vettoriale RxR andrebbe scritto non solo tra parentesi (giusto?), ma
anche in verticale - oppure tra parentesi e trasposto, i.e. "f( (x,y)^T )" (a
meno di non vedere la funzione come un operatore, ma il punto è che non ci
credo affatto che chi scrive "f(x,y)" pensa "sto usando l'operatore f con il
vettore riga (x,y) appartenente a R^2 :) ).

Questo sarebbe consistente e coerente con le regole generali per denotare
funzioni, domini di funzione, insiemi risultanti da un prodotto cartesiano di
insiemi, spazi vettoriali e vettori. Di nuovo però, è sufficiente ****assumere
convenzionalmente**** che il vettore venga scritto (i) in orizzontale e (ii)
senza parentesi, e tutto fila, ma va beh... di assunzioni sensate, come ho
detto, allora ne possiamo inventare tante. Io volevo una notazione che non
dovesse fare leva su alcuna assunzione.

Non credo sia del tutto chiaro il problema che ho sollevato che riguarda
l'interpretazione rigorosa della notazione comunemente usata per la funzione di
due variabili basata soltanto sulle regole notazionali ben note e accettate da
tutti, **senza assunzioni aggiuntive** (per quanto sensate)... pazienza.

Ciao,
P.
piergiorgio.benenati@gmail.com 31 Ago 2017 23:05
> A parte il fatto che non so come tu possa sapere cosa e' nella mente di un
ricercatore, non hsi risposto alla mia osservazione:
> e se intendessero che le parentesi racchiudono le variabili /e allo stesso
tempo/ assumessero, nella scrittura f(x,y), di scrivere per prima la componente
e^1 e per seconda la componente e^2 del vettore a*e^1+b*e^2? In questo caso ci
sarebbe sempre un abuso di notazione?
>
> --
> Wakinian Tanka

Come scrivi tu, nessuno può sapere cosa c'è nelle mente di **un** ricercatore,
o di **uno** studente del liceo, perché significa avere un quadro complessivo
di ciò che pensa la maggior parte delle persone che appartengono ad alcuni
insiemi enormi. Io però posso avere un'opinione nel merito, che è quella che
ho scritto, anche se non posso avere certezze.

Poi, di interpretazioni sensate che corrispondono alla notazione comunemente
usata per denotare una funzione di due variabili se ne possono *inventare*
tante. Basta dire semplicemente quello che viene insegnato appunto alle medie
inferiori o superiori:

<<Quando abbiamo una funzione di due varibiali, tra la parentesi si elencano in
ordine gli argomenti di sinistra e destra e stop, fine>>.

Detto questo (ed è ciò che gli insegnanti dicono davvero) la questione
dell'interpretazione sarebbe già chiusa... se non fosse che, come ho detto, nel
momento in cui
1) si dice quanto ho appena scritto,
2) si anche definisce il concetto di dominio di una funzione, e
3) si dice anche che il dominio è (per esempio) RxR,
allora "gli argomenti della funzione" sono in tutto *uno solo*: la coppia
appartenente a RxR. Da qui il concetto di mancanza di rigore nonostante non
tutti siano d'accordo nell'interpretare la scrittura "f(x,y)".

È chiaro che tutti capiamo cosa si scrive, ma manca il rigore matematico,
perché si sta usando una *convenzione* ad hoc per il concetto in questione.

E quindi sì, anche nell'esempio che hai appena fatto, ci sarebbe un abuso di
notazione, perché gli argomenti dovrebbero essere (stando alla notazione
comunemente accettata) un elenco ordinato del dominio. Ma un elemento dello
spazio vettoriale RxR andrebbe scritto non solo tra parentesi (giusto?), ma
anche in verticale secondo la notazione di default se non sbaltio, ma visto che
tanvolta non viene scritto in verticale, dimentichiamoci di questo fatto, e
pensiamolo come un vettore riga:

avremmo, di nuovo, "f( (x,y) )" senza nemmeno "^T" per la trasposizione. Due
coppie di parentesi qundi
(a meno di non vedere la funzione come un operatore, ma il punto è che non ci
credo affatto che chi scrive "f(x,y)" pensa "sto usando l'operatore f con il
vettore riga (x,y) appartenente allo spazio vettoriale R^2, ecco il punto che
sottolineo! :) ).

Questo sarebbe consistente e coerente con le regole generali per denotare
funzioni, domini di funzione, insiemi risultanti da un prodotto cartesiano di
insiemi, spazi vettoriali e vettori. Di nuovo però, è sufficiente ****assumere
convenzionalmente**** che il vettore venga scritto (i) in orizzontale e (ii)
senza parentesi, e tutto fila, ma va beh... di assunzioni sensate, come ho
detto, allora ne possiamo inventare tante. Io volevo una notazione che non
dovesse fare leva su alcuna assunzione.

Non credo sia del tutto chiaro il problema che ho sollevato che riguarda
l'interpretazione rigorosa della notazione comunemente usata per la funzione di
due variabili basata soltanto sulle regole notazionali ben note e accettate da
tutti, **senza assunzioni aggiuntive** (per quanto sensate)... pazienza.

Ciao,
P.
piergiorgio.benenati@gmail.com 31 Ago 2017 23:10
> A parte il fatto che non so come tu possa sapere cosa e' nella mente di un
ricercatore, non hsi risposto alla mia osservazione:
> e se intendessero che le parentesi racchiudono le variabili /e allo stesso
tempo/ assumessero, nella scrittura f(x,y), di scrivere per prima la componente
e^1 e per seconda la componente e^2 del vettore a*e^1+b*e^2? In questo caso ci
sarebbe sempre un abuso di notazione?
>
> --
> Wakinian Tanka

Come scrivi tu, nessuno può sapere cosa c'è nelle mente di **un** ricercatore,
o di **uno** studente del liceo, perché significa avere un quadro complessivo
di ciò che pensa la maggior parte delle persone che appartengono ad alcuni
insiemi enormi. Io però posso avere un'opinione nel merito, che è quella che
ho scritto, anche se non posso avere certezze.

Poi, di interpretazioni sensate che corrispondono alla notazione comunemente
usata per denotare una funzione di due variabili se ne possono *inventare*
tante. Basta dire semplicemente quello che viene insegnato appunto alle medie
inferiori o superiori:

<<Quando abbiamo una funzione di due varibiali, tra la parentesi si elencano in
ordine gli argomenti di sinistra e destra e stop, fine>>.

Detto questo (ed è ciò che gli insegnanti dicono davvero) la questione
dell'interpretazione sarebbe già chiusa... se non fosse che, come ho detto, nel
momento in cui
1) si dice quanto ho appena scritto,
2) si anche definisce il concetto di dominio di una funzione, e
3) si dice anche che il dominio è (per esempio) RxR,
allora "gli argomenti della funzione" sono in tutto *uno solo*: la coppia
appartenente a RxR. Da qui il concetto di mancanza di rigore nonostante non
tutti siano d'accordo nell'interpretare la scrittura "f(x,y)".

È chiaro che tutti capiamo cosa si scrive, ma manca il rigore matematico,
perché si sta usando una *convenzione* ad hoc per il concetto in questione.

E quindi sì, anche nell'esempio che hai appena fatto, ci sarebbe un abuso di
notazione, perché gli argomenti dovrebbero essere (stando alla notazione
comunemente accettata) un elenco ordinato del dominio. Ma un elemento dello
spazio vettoriale RxR andrebbe scritto non solo tra parentesi (giusto?), ma
anche in verticale secondo la notazione di default se non sbaglio, ma visto che
talvolta non viene scritto in verticale, dimentichiamoci di questo fatto, e
pensiamolo come un vettore riga:

avremmo, di nuovo, "f( (x,y) )" senza nemmeno "^T" per la trasposizione. Due
coppie di parentesi quindi
(a meno di non vedere la funzione come un operatore, ma il punto è che non ci
credo affatto che chi scrive "f(x,y)" pensa "sto usando l'operatore f con il
vettore riga (x,y) appartenente allo spazio vettoriale R^2, ecco il punto che
sottolineo! :) ).

Questo sarebbe consistente e coerente con le regole generali per denotare
funzioni, domini di funzione, insiemi risultanti da un prodotto cartesiano di
insiemi, spazi vettoriali e vettori. Di nuovo però, è sufficiente ****assumere
convenzionalmente**** che il vettore venga scritto (i) in orizzontale e
soprattutto (ii) senza parentesi, e tutto fila, ma va beh... di assunzioni
sensate, come ho detto, allora ne possiamo fare tante. Io volevo una notazione
che non dovesse fare leva su alcuna assunzione.

Non credo sia del tutto chiaro il problema che ho sollevato che riguarda
l'interpretazione rigorosa della notazione comunemente usata per la funzione di
due variabili basata soltanto sulle regole notazionali ben note e accettate da
tutti, **senza assunzioni aggiuntive** (per quanto sensate)... pazienza.

Ciao e grazie comunque,
P.
piergiorgio.benenati@gmail.com 1 Set 2017 04:18
> A parte il fatto che non so come tu possa sapere cosa e' nella mente di un
ricercatore, non hsi risposto alla mia osservazione:
> e se intendessero che le parentesi racchiudono le variabili /e allo stesso
tempo/ assumessero, nella scrittura f(x,y), di scrivere per prima la componente
e^1 e per seconda la componente e^2 del vettore a*e^1+b*e^2? In questo caso ci
sarebbe sempre un abuso di notazione?
>
> --
> Wakinian Tanka

Come scrivi tu, nessuno può sapere cosa c'è nelle mente di **un** ricercatore,
o di **uno** studente del liceo, perché significa avere un quadro complessivo
di ciò che pensa la maggior parte delle persone che appartengono ad alcuni
insiemi enormi. Io però posso avere un'opinione nel merito, che è quella che
ho scritto, anche se non posso avere certezze.

Poi, di interpretazioni sensate che corrispondono alla notazione comunemente
usata per denotare una funzione di due variabili se ne possono *inventare*
tante. Basta dire semplicemente quello che viene insegnato appunto alle medie
inferiori o superiori:

<<Quando abbiamo una funzione di due varibiali, tra la parentesi si elencano in
ordine gli argomenti da sinistra e destra e stop, fine>>.

Detto questo (ed è ciò che gli insegnanti dicono davvero) la questione
dell'interpretazione sarebbe già chiusa... se non fosse che, come ho detto, nel
momento in cui
1) si dice quanto ho appena scritto,
2) si anche definisce il concetto di dominio di una funzione, e
3) si dice anche che il dominio è (per esempio) RxR,
allora "gli argomenti della funzione" sono in tutto *uno solo*: la coppia
appartenente a RxR. Da qui il concetto di mancanza di rigore nonostante non
tutti siano d'accordo nell'interpretare la scrittura "f(x,y)".

È chiaro che tutti capiamo cosa si scrive, ma manca il rigore matematico,
perché si sta usando una *convenzione* ad hoc per il concetto in questione.

-------

E quindi sì, anche nell'esempio che hai appena fatto, ci sarebbe un abuso di
notazione, perché gli argomenti dovrebbero essere (stando alla notazione
comunemente accettata) un elenco ordinato del dominio, nel caso specifico *un
solo argomento*. Ma un elemento dello spazio vettoriale RxR andrebbe scritto non
solo tra parentesi (giusto?), ma anche in verticale secondo la notazione di
default se non sbaglio; tuttavia, visto che talvolta non viene scritto in
verticale, dimentichiamoci di questo fatto, e pensiamolo come un vettore riga
per semplificare la faccenda:

avremmo, di nuovo, "f( (x,y) )" senza nemmeno "^T" per la trasposizione. Due
coppie di parentesi quindi esattamente come nel pensare a "(x,y)" come coppia
ordinata appartenente al dominio R^2
(a meno di non vedere, di nuovo, la funzione f come un operatore, ma il punto è
che non ci credo affatto che chi scrive "f(x,y)" pensi "sto usando l'operatore f
con il vettore riga (x,y) appartenente allo spazio vettoriale R^2... ecco ciò
che sto sottolineando in tutto questo post! :) ).

Questo sarebbe consistente e coerente con le regole generali per denotare
funzioni, domini di funzione, insiemi risultanti da un prodotto cartesiano di
insiemi, spazi vettoriali e vettori. Di nuovo però, è sufficiente ****assumere
convenzionalmente**** che il vettore venga scritto (1) in orizzontale e
*soprattutto* (2) senza parentesi, e tutto fila, ma va beh... di assunzioni
sensate, come ho detto, ne possiamo fare tante. Io volevo una notazione ****che
non dovesse fare leva su alcuna assunzione aggiuntiva****.

Non credo sia del tutto chiaro il problema che ho sollevato che riguarda
l'interpretazione *rigorosa* della notazione comunemente usata per la funzione
di due variabili basata *solo e soltanto* sulle regole notazionali ben note e
accettate da tutti, **senza assunzioni aggiuntive ad hoc** (per quanto possano
essere sensate)... pazienza.

Ciao e grazie comunque,
P.
piergiorgio.benenati@gmail.com 1 Set 2017 04:28
> A parte il fatto che non so come tu possa sapere cosa e' nella mente di un
ricercatore, non hsi risposto alla mia osservazione:
> e se intendessero che le parentesi racchiudono le variabili /e allo stesso
tempo/ assumessero, nella scrittura f(x,y), di scrivere per prima la componente
e^1 e per seconda la componente e^2 del vettore a*e^1+b*e^2? In questo caso ci
sarebbe sempre un abuso di notazione?
>
> --
> Wakinian Tanka

Come scrivi tu, nessuno può sapere cosa c'è nelle mente di **un** ricercatore,
o di **uno** studente del liceo, perché significa avere un quadro complessivo
di ciò che pensa la maggior parte delle persone che appartengono ad alcuni
insiemi enormi. Io però posso avere un'opinione nel merito, che è quella che
ho scritto, anche se non posso avere certezze.

Poi, di interpretazioni sensate che corrispondono alla notazione comunemente
usata per denotare una funzione di due variabili se ne possono *inventare*
tante. Basta dire semplicemente quello che viene insegnato appunto alle medie
inferiori o superiori:

<<Quando abbiamo una funzione di due varibiali, tra la parentesi si elencano in
ordine gli argomenti da sinistra e destra e stop, fine>>.

Detto questo (ed è ciò che gli insegnanti dicono davvero) la questione
dell'interpretazione sarebbe già chiusa... se non fosse che, come ho detto, nel
momento in cui
1) si dice quanto ho appena scritto,
2) si anche definisce il concetto di dominio di una funzione, e
3) si dice anche che il dominio è (per esempio) RxR,
allora "gli argomenti della funzione" sono in tutto *uno solo*: la coppia
appartenente a RxR. Da qui il concetto di mancanza di rigore nonostante non
tutti siano d'accordo nell'interpretare la scrittura "f(x,y)".

È chiaro che tutti capiamo cosa si scrive, ma manca il rigore matematico,
perché si sta usando una *convenzione* ad hoc per il concetto in questione.

---

E quindi sì, anche nell'esempio che hai appena fatto, ci sarebbe un abuso di
notazione, perché gli argomenti dovrebbero essere (stando alla notazione
comunemente accettata) un elenco ordinato del dominio, nel caso specifico *un
solo argomento*. Ma un elemento dello spazio vettoriale RxR andrebbe scritto non
solo tra parentesi (giusto?), ma anche in verticale secondo la matrix notation;
tuttavia, dimentichiamoci pure della matrix notation, e pensiamolo come un
vettore riga per avvicinarci alla notazione comunemente usata "f(x,y)". Cosa
avremmo?

Avremmo, di nuovo, "f( (x,y) )" (senza nemmeno "^T" per la trasposizione).
Ancora **due** coppie di parentesi quindi esattamente come nel pensare a "(x,y)"
come coppia ordinata appartenente al dominio R^2
(a meno di non vedere, di nuovo, la funzione f come un operatore, ma il punto è
che non credo affatto che la maggior parte dei ricercatori e studenti che scrive
"f(x,y)" lo faccia pensando "sto usando l'operatore f con il vettore riga (x,y)
appartenente allo spazio vettoriale R^2... ecco ciò che sto sottolineando in
tutto questo post :) ).

Questo sarebbe consistente e coerente con le regole generali per denotare
funzioni, domini di funzione, insiemi risultanti da un prodotto cartesiano di
insiemi, spazi vettoriali e vettori. Tu parli di "assunzioni" (quando scrivi
"[...] assumessero" nell'ultimo messaggio). Di nuovo però, è sufficiente
****assumere convenzionalmente**** che il vettore venga scritto semplicemente
senza parentesi, e tutto fila, ma va beh... di assunzioni sensate, come ho
detto, ne possiamo fare tante.
Io volevo una notazione ****che non dovesse fare leva su alcuna assunzione
aggiuntiva****.

Non credo sia del tutto chiaro il problema che ho sollevato che riguarda
l'interpretazione *rigorosa* della notazione comunemente usata per la funzione
di due variabili basata *solo e soltanto* sulle regole notazionali ben note e
accettate da tutti, **senza assunzioni aggiuntive ad hoc** (per quanto possano
essere sensate)... pazienza.

Ciao e grazie comunque,
P.

Links
Giochi online
Dizionario sinonimi
Leggi e codici
Ricette
Testi
Webmatica
Hosting gratis
   
 

Matematica. La regina delle scienze | Tutti i gruppi | it.scienza.matematica | Notizie e discussioni matematica | Matematica Mobile | Servizio di consultazione news.