Matematica. La regina delle scienze
 

Problema semplice su una sequenza di lanci di una moneta unfair

piergiorgio.benenati@gmail.com 3 Lug 2017 16:23
Ciao,

scusate, spero di non abusare della vostra pazienza perché negli ultimi giorni
ho già posto altre due domande, ma vorrei un suggerimento per risolvere il
seguente problema (che credo sia semplice):

Lanciando una moneta esce T (testa) con probabilità p<1/2, e C (croce) con
probabilità 1-p.

Dopo una sequenza S di n>>1 lanci, qual è il valore atteso del numero z di
sotto-sequenze del tipo "TCCCT" in S?

---Esempio: Se esce "CC TCCCT TCCCT TTT TCCCTCCCT" abbiamo z=4 (ho messo gli
spazi solo per evidenziare le sottosequenze cercate... le ultime due sono
sovrapposte su una "T").

---

Vi dico come farei io (per avere solo un upper bound del valore atteso di z, non
la soluzione esatta): per ogni lancio eseguito al tempo t<=n, la sotto-sequenza
s "TCCCT" si realizzerà nei cinque lanci successivi con probabilità
p_s=p^2(1-p)^3. Quindi un upper bound del valore atteso di z è n*p_s (anche se
non mi è chiaro quanto sia tight). Cosa ne pensate?

Grazie!
P.
Adam Atkinson 4 Lug 2017 21:18
On 03/07/17 15:23, piergiorgio.benenati@gmail.com wrote:

> Vi dico come farei io (per avere solo un upper bound del valore
> atteso di z, non la soluzione esatta): per ogni lancio eseguito al
> tempo t<=n, la sotto-sequenza s "TCCCT" si realizzerà nei cinque
> lanci successivi con probabilità p_s=p^2(1-p)^3. Quindi un upper
> bound del valore atteso di z è n*p_s (anche se non mi è chiaro quanto
> sia tight). Cosa ne pensate?

Magari sto prendendo una cantonata ma non e' (n-4)p^2(1-p)^3 ?

Abbiamo n-4 variabli E_i "la successione comincia in i" che valgono 0 o 1.

Non sono indipendenti, ma E(X+Y)=E(X)+E(Y) anche quando X e Y non sono
indipendenti, quindi la risposta sembrerebbe (n-4)p^2(1-p)^3
piergiorgio.benenati@gmail.com 4 Lug 2017 21:28
Il giorno martedì 4 luglio 2017 21:18:57 UTC+2, Adam Atkinson ha scritto:
> On 03/07/17 15:23, piergiorgio.benenati@gmail.com wrote:
>
>> Vi dico come farei io (per avere solo un upper bound del valore
>> atteso di z, non la soluzione esatta): per ogni lancio eseguito al
>> tempo t<=n, la sotto-sequenza s "TCCCT" si realizzerà nei cinque
>> lanci successivi con probabilità p_s=p^2(1-p)^3. Quindi un upper
>> bound del valore atteso di z è n*p_s (anche se non mi è chiaro quanto
>> sia tight). Cosa ne pensate?
>
> Magari sto prendendo una cantonata ma non e' (n-4)p^2(1-p)^3 ?
>
> Abbiamo n-4 variabli E_i "la successione comincia in i" che valgono 0 o 1.
>
> Non sono indipendenti, ma E(X+Y)=E(X)+E(Y) anche quando X e Y non sono
> indipendenti, quindi la risposta sembrerebbe (n-4)p^2(1-p)^3

Grazie per la risposta!
Ci ho pensato anch'io. Tuttavia mi chiedo: perché trascuri il fatto ogni volta
che si realizza l'evento "TCCCT", vengono "consumati" 5 lanci e quindi nel
processo rimangono 5 lanci in meno da fare anziché 1 solo in meno (ma al tempo
stesso consideri questo fatto con quel "-4" solo e soltanto alla fine della
sequenza S)?
Grazie!
P.
Adam Atkinson 5 Lug 2017 06:29
On 04/07/17 20:28, piergiorgio.benenati@gmail.com wrote:

> Grazie per la risposta! Ci ho pensato anch'io. Tuttavia mi chiedo:
> perché trascuri il fatto ogni volta che si realizza l'evento "TCCCT",
> vengono "consumati" 5 lanci e quindi nel processo rimangono 5 lanci
> in meno da fare anziché 1 solo in meno (ma al tempo stesso consideri
> questo fatto con quel "-4" solo e soltanto alla fine della sequenza
> S)? Grazie! P.

Il -4 alla fine e' solo perche' un blocco di 5 non puo' cominciare dopo n-4.
piergiorgio.benenati@gmail.com 5 Lug 2017 15:43
Il giorno mercoledì 5 luglio 2017 06:29:29 UTC+2, Adam Atkinson ha scritto:
> On 04/07/17 20:28, piergiorgio.benenati@gmail.com wrote:
>
>> Grazie per la risposta! Ci ho pensato anch'io. Tuttavia mi chiedo:
>> perché trascuri il fatto ogni volta che si realizza l'evento "TCCCT",
>> vengono "consumati" 5 lanci e quindi nel processo rimangono 5 lanci
>> in meno da fare anziché 1 solo in meno (ma al tempo stesso consideri
>> questo fatto con quel "-4" solo e soltanto alla fine della sequenza
>> S)? Grazie! P.
>
> Il -4 alla fine e' solo perche' un blocco di 5 non puo' cominciare dopo n-4.

Quando ho scritto "[...] (ma al tempo stesso consideri questo fatto con quel
"-4" solo e soltanto alla fine della sequenza S)" intendevo parlare di questo
fatto, che è chiarissimo. Piuttosto, ho la sensazione che se la sequenza S non
è troppo corta rispetto alla lunghezza della sotto-sequenza s, la quantità
della formula che hai scritto sia strettamente maggiore di quella cercata, cioè
sia comunque un upper bound non tight.
P.
ADPUF 5 Lug 2017 21:56
piergiorgio.benenati@gmail.com 16:23, lunedì 3 luglio 2017:
>
> scusate, spero di non abusare della vostra pazienza perché
> negli ultimi giorni ho già posto altre due domande, ma vorrei
> un suggerimento per risolvere il seguente problema (che credo
> sia semplice):
>
> Lanciando una moneta esce T (testa) con probabilità p<1/2, e
> C (croce) con probabilità 1-p.
>
> Dopo una sequenza S di n>>1 lanci, qual è il valore atteso
> del numero z di sotto-sequenze del tipo "TCCCT" in S?
>
> ---Esempio: Se esce "CC TCCCT TCCCT TTT TCCCTCCCT" abbiamo
> z=4 (ho messo gli spazi solo per evidenziare le sottosequenze
> cercate... le ultime due sono sovrapposte su una "T").


Dato che n>>1
una fissata sequenza contenente Nt teste e Nc croci
ha probabilità
prob= p^Nt*(1-p)^Nc
di uscire ogni Nt+Nc lanci (*)

Quindi in media z= prob*n/(Nt+Nc)

Nel caso sopra
n=24; Nt=2; Nc=3
dovrebbe essere z= prob*24/5= 4,8*prob

dalla sequenza data in esempio si vede che p~10/24
verrebbe prob=0.03446100180041152263
e lo z atteso 0.1654128086419753086

per cui appare improbabile che ce ne siano 4.

(vedere col chi quadro?)


(*) ma forse bisogna considerare ogni lancio invece di Nt+Nc
z verrebbe (Nt+Nc) volte maggiore
Nel caso dell'esempio z~0,827, sempre << 4


--
AIOE °¿°
Ho plonkato tutti quelli che postano da Google Groups!
Qui è Usenet, non è il Web!
Adam Atkinson 6 Lug 2017 19:01
On 05/07/17 14:43, piergiorgio.benenati@gmail.com wrote:
> Piuttosto, ho la
> sensazione che se la sequenza S non è troppo corta rispetto alla
> lunghezza della sotto-sequenza s, la quantità della formula che hai
> scritto sia strettamente maggiore di quella cercata, cioè sia
> comunque un upper bound non tight. P.

Come ho detto, E[X+Y]=E[X]+E[Y] vale anche se X e Y non sono
indipendenti, quindi definiamo X_i=1 se c'e' un TCCCT che comincia a
lancio i, altrimenti 0.

Tu vuoi E[somma(X_i)] che e' semplicemente somma E[X_i], cioe' somma
p(X_i)=1. Cioe' (n-4)p^2q^3.

https://it.wikipedia.org/wiki/Valore_atteso#Linearit.C3.A0

Proviamo con un programma:

#!/usr/bin/perl

$n=shift;
$p=shift;
#p is heads

$q=1-$p;
# q is tails

$guess=($n-4)*($p**2)*($q**3);

if ($n<5) {
$guess=0;
}

$mean=0;
for $i (0..(2<<$n-1)-1) {
$s="";
$ps=1;
$val=0;
for $j (0..$n-1) {
if (($i & 1<<$j)>0) {
$s="T".$s;
$ps*=$p;
} else {
$s="C".$s;
$ps*=$q;
}
}
#print "$i $s\n";
for $k (0..$n-5) {
$in=index $s, "TCCCT", $k;
#print "$k $in\n";
if ($in==$k) {
$val++;
}
}
$mean+=$val*$ps;

#print "$i $mean\n";

}


print "Mean is $mean compared with guess of $guess\n";

e facciamo dei tentativi:

cominciamo col caso piu' scemo possibile:

adam@adam2015:~$ ./coinproblem.p 5 .5
Mean is 0.03125 compared with guess of 0.03125

poi 10 lanci, p=0.3

adam@adam2015:~$ ./coinproblem.p 10 .3
Mean is 0.18522 compared with guess of 0.18522

e come nel tuo esempio, 24 lanci. facciamo p=0.3 anche qui:

adam@adam2015:~$ ./coinproblem.p 24 0.3
Mean is 0.617400000000556 compared with guess of 0.6174

qualche problema di arrotondamento, tutto qui, direi.

ovviamente questi esempi non dimostrano nulla ma sono almeno
rassicuranti, no?

questi problemi vengono da un corso o un libro di testo?
piergiorgio.benenati@gmail.com 7 Lug 2017 14:33
Il giorno giovedì 6 luglio 2017 19:01:09 UTC+2, Adam Atkinson ha scritto:
> On 05/07/17 14:43, piergiorgio.benenati@gmail.com wrote:
>> Piuttosto, ho la
>> sensazione che se la sequenza S non è troppo corta rispetto alla
>> lunghezza della sotto-sequenza s, la quantità della formula che hai
>> scritto sia strettamente maggiore di quella cercata, cioè sia
>> comunque un upper bound non tight. P.
>
> Come ho detto, E[X+Y]=E[X]+E[Y] vale anche se X e Y non sono
> indipendenti, quindi definiamo X_i=1 se c'e' un TCCCT che comincia a
> lancio i, altrimenti 0.
>
> Tu vuoi E[somma(X_i)] che e' semplicemente somma E[X_i], cioe' somma
> p(X_i)=1. Cioe' (n-4)p^2q^3.
>
> https://it.wikipedia.org/wiki/Valore_atteso#Linearit.C3.A0
>
> Proviamo con un programma:
>
> #!/usr/bin/perl
>
> $n=shift;
> $p=shift;
> #p is heads
>
> $q=1-$p;
> # q is tails
>
> $guess=($n-4)*($p**2)*($q**3);
>
> if ($n<5) {
> $guess=0;
> }
>
> $mean=0;
> for $i (0..(2<<$n-1)-1) {
> $s="";
> $ps=1;
> $val=0;
> for $j (0..$n-1) {
> if (($i & 1<<$j)>0) {
> $s="T".$s;
> $ps*=$p;
> } else {
> $s="C".$s;
> $ps*=$q;
> }
> }
> #print "$i $s\n";
> for $k (0..$n-5) {
> $in=index $s, "TCCCT", $k;
> #print "$k $in\n";
> if ($in==$k) {
> $val++;
> }
> }
> $mean+=$val*$ps;
>
> #print "$i $mean\n";
>
> }
>
>
> print "Mean is $mean compared with guess of $guess\n";
>
> e facciamo dei tentativi:
>
> cominciamo col caso piu' scemo possibile:
>
> adam@adam2015:~$ ./coinproblem.p 5 .5
> Mean is 0.03125 compared with guess of 0.03125
>
> poi 10 lanci, p=0.3
>
> adam@adam2015:~$ ./coinproblem.p 10 .3
> Mean is 0.18522 compared with guess of 0.18522
>
> e come nel tuo esempio, 24 lanci. facciamo p=0.3 anche qui:
>
> adam@adam2015:~$ ./coinproblem.p 24 0.3
> Mean is 0.617400000000556 compared with guess of 0.6174
>
> qualche problema di arrotondamento, tutto qui, direi.
>
> ovviamente questi esempi non dimostrano nulla ma sono almeno
> rassicuranti, no?
>
> questi problemi vengono da un corso o un libro di testo?

Ringrazio tutti per essere intervenuti.

Chiedo scusa se c'è qualcosa che mi sfugge, ma la formula di Adam (n-4)p^2(q^3)
mi sembra che *non* fornisca il risultato cercato.

Mi spiego meglio: nel problema abbiamo sostanzialmente un processo bernoulliano
con probabilità p_s=p^2(q^3) con un numero di trial che *non* è n-4,
perché...
...ogni volta volta che avviene un successo con probabilità p_s, il numero di
trial viene accorciato di 3 (3=lunghezza sotto sequenza -1 - lunghezza del
prefisso e suffisso di uguale dimensione della sottosequenza che combaciano,
cioè 3=5-1-1; inoltre, dopo ogni successo, partendo poi necessariamente con una
testa "T", la prossima sottosequenza si ha con probabilità p(q^3) se si
sovrappone all'ultima).

Un buon modo per osservare ciò che sto dicendo *sperimentalmente* (che è anche
ciò che ho detto anche subito dopo la prima risposta di Adam, ma non mi ero
spiegato bene forse) è fissare n=2|s|, in questo caso n=10, e p=0.05 per
esempio.

Se poi n>>1, essendo 5 una costante (diciamo "piccola"), allora il risultato
*approssima* quello cercato. In ogni caso (n-4)p^2(q^3) *non* è la formula
corretta e linearità del valore atteso non è sufficiente.

*Se* fosse invece un processo bernuilliano con probabilità p_s=p^2(q^3)
*di lunghezza ***fissa*** uguale a n-4*,
allora Adam avrebbe ragione, ma non mi pare sia così, correggetemi se sbaglio
per favore.
Grazie comunque!
P.

PS: Adam, questo problema è un sottoproblema relativo a una piccola parte di un
algoritmo che sto ideando e *****izzando, non fa parte né di un corso né di un
libro di testo. Grazie.
piergiorgio.benenati@gmail.com 7 Lug 2017 17:03
Il giorno venerdì 7 luglio 2017 14:33:19 UTC+2, piergiorgi...@gmail.com ha
scritto:
> Il giorno giovedì 6 luglio 2017 19:01:09 UTC+2, Adam Atkinson ha scritto:
>> On 05/07/17 14:43, piergiorgio.benenati@gmail.com wrote:
>>> Piuttosto, ho la
>>> sensazione che se la sequenza S non è troppo corta rispetto alla
>>> lunghezza della sotto-sequenza s, la quantità della formula che hai
>>> scritto sia strettamente maggiore di quella cercata, cioè sia
>>> comunque un upper bound non tight. P.
>>
>> Come ho detto, E[X+Y]=E[X]+E[Y] vale anche se X e Y non sono
>> indipendenti, quindi definiamo X_i=1 se c'e' un TCCCT che comincia a
>> lancio i, altrimenti 0.
>>
>> Tu vuoi E[somma(X_i)] che e' semplicemente somma E[X_i], cioe' somma
>> p(X_i)=1. Cioe' (n-4)p^2q^3.
>>
>> https://it.wikipedia.org/wiki/Valore_atteso#Linearit.C3.A0
>>
>> Proviamo con un programma:
>>
>> #!/usr/bin/perl
>>
>> $n=shift;
>> $p=shift;
>> #p is heads
>>
>> $q=1-$p;
>> # q is tails
>>
>> $guess=($n-4)*($p**2)*($q**3);
>>
>> if ($n<5) {
>> $guess=0;
>> }
>>
>> $mean=0;
>> for $i (0..(2<<$n-1)-1) {
>> $s="";
>> $ps=1;
>> $val=0;
>> for $j (0..$n-1) {
>> if (($i & 1<<$j)>0) {
>> $s="T".$s;
>> $ps*=$p;
>> } else {
>> $s="C".$s;
>> $ps*=$q;
>> }
>> }
>> #print "$i $s\n";
>> for $k (0..$n-5) {
>> $in=index $s, "TCCCT", $k;
>> #print "$k $in\n";
>> if ($in==$k) {
>> $val++;
>> }
>> }
>> $mean+=$val*$ps;
>>
>> #print "$i $mean\n";
>>
>> }
>>
>>
>> print "Mean is $mean compared with guess of $guess\n";
>>
>> e facciamo dei tentativi:
>>
>> cominciamo col caso piu' scemo possibile:
>>
>> adam@adam2015:~$ ./coinproblem.p 5 .5
>> Mean is 0.03125 compared with guess of 0.03125
>>
>> poi 10 lanci, p=0.3
>>
>> adam@adam2015:~$ ./coinproblem.p 10 .3
>> Mean is 0.18522 compared with guess of 0.18522
>>
>> e come nel tuo esempio, 24 lanci. facciamo p=0.3 anche qui:
>>
>> adam@adam2015:~$ ./coinproblem.p 24 0.3
>> Mean is 0.617400000000556 compared with guess of 0.6174
>>
>> qualche problema di arrotondamento, tutto qui, direi.
>>
>> ovviamente questi esempi non dimostrano nulla ma sono almeno
>> rassicuranti, no?
>>
>> questi problemi vengono da un corso o un libro di testo?
>
> Ringrazio tutti per essere intervenuti.
>
> Chiedo scusa se c'è qualcosa che mi sfugge, ma la formula di Adam
(n-4)p^2(q^3) mi sembra che *non* fornisca il risultato cercato.
>
> Mi spiego meglio: nel problema abbiamo sostanzialmente un processo
bernoulliano con probabilità p_s=p^2(q^3) con un numero di trial che *non* è
n-4, perché...
> ...ogni volta volta che avviene un successo con probabilità p_s, il numero di
trial viene accorciato di 3 (3=lunghezza sotto sequenza -1 - lunghezza del
prefisso e suffisso di uguale dimensione della sottosequenza che combaciano,
cioè 3=5-1-1; inoltre, dopo ogni successo, partendo poi necessariamente con una
testa "T", la prossima sottosequenza si ha con probabilità p(q^3) se si
sovrappone all'ultima).
>
> Un buon modo per osservare ciò che sto dicendo *sperimentalmente* (che è
anche ciò che ho detto anche subito dopo la prima risposta di Adam, ma non mi
ero spiegato bene forse) è fissare n=2|s|, in questo caso n=10, e p=0.05 per
esempio.
>
> Se poi n>>1, essendo 5 una costante (diciamo "piccola"), allora il risultato
*approssima* quello cercato. In ogni caso (n-4)p^2(q^3) *non* è la formula
corretta e linearità del valore atteso non è sufficiente.
>
> *Se* fosse invece un processo bernuilliano con probabilità p_s=p^2(q^3)
> *di lunghezza ***fissa*** uguale a n-4*,
> allora Adam avrebbe ragione, ma non mi pare sia così, correggetemi se sbaglio
per favore.
> Grazie comunque!
> P.
>
> PS: Adam, questo problema è un sottoproblema relativo a una piccola parte di
un algoritmo che sto ideando e *****izzando, non fa parte né di un corso né di
un libro di testo. Grazie.

PPS: SCUSATE, mi correggo, c'era un bug nel codice del mio esperimento, quindi
non è vero che ho scritto si nota quello in modo così chiaro con quei valori
per quanto riguarda l'esperimento. Rimangono però le mie perplessità per il
fatto che, come ho scritto prima, è come se in un processo bernouilliano il
numero di prove totali, anziché essere fissato uguale a n-4 a priori, si
riducesse ogni volta che si ha un successo di una quantità vicina alla
lunghezza della sottosequenza da trovare.
Adam Atkinson 7 Lug 2017 19:55
On 07/07/17 13:33, piergiorgio.benenati@gmail.com wrote:

> Chiedo scusa se c'è qualcosa che mi sfugge, ma la formula di Adam
> (n-4)p^2(q^3) mi sembra che *non* fornisca il risultato cercato.

No? Versione piu' prolissa del programmino. Adesso stampa le sucessioni
con almeno una copia di TCCCT, dice quante copie contengono, e la
probabilita' di quella successione. Alla fine la probabilita'
complessiva dei vari punteggi, e la loro media. E finalmente il
risultato ottenuto con la formula.

#!/usr/bin/perl

$n=shift;
$p=shift;
#p is heads

$q=1-$p;
# q is tails

$guess=($n-4)*($p**2)*($q**3);

if ($n<5) {
$guess=0;
}

$mean=0;
for $i (0..(2<<$n-1)-1) {
$s="";
$ps=1;
$val=0;
for $j (0..$n-1) {
if (($i & 1<<$j)>0) {
$s="T".$s;
$ps*=$p;
} else {
$s="C".$s;
$ps*=$q;
}
}
#print "$i $s\n";
for $k (0..$n-5) {
$in=index $s, "TCCCT", $k;
#print "$k $in\n";
if ($in==$k) {
$val++;
}
}
if ($val>0) {
print "$s vale $val e ha probabilita' $ps\n";
}
#$mean+=$val*$ps;
$prob[$val]+=$ps;

#print "$i $mean\n";

}
for (0.. $#prob) {
print "$_ ha probabilita' complessiva $prob[$_]\n";
$mean+=$_*$prob[$_]
}

print "Media $mean, la formula dice $guess\n";

> questo
> caso n=10, e p=0.05 per esempio.

facciamo con 10 e 0.05, allora:

adam@adam2015:~$ ./coinproblem2.p 10 0.05
CCCCCTCCCT vale 1 e ha probabilita' 0.00165855107822266
CCCCTCCCTC vale 1 e ha probabilita' 0.00165855107822266
CCCCTCCCTT vale 1 e ha probabilita' 8.72921620117187e-05
CCCCTTCCCT vale 1 e ha probabilita' 8.72921620117187e-05
CCCTCCCTCC vale 1 e ha probabilita' 0.00165855107822266
CCCTCCCTCT vale 1 e ha probabilita' 8.72921620117188e-05
CCCTCCCTTC vale 1 e ha probabilita' 8.72921620117188e-05
CCCTCCCTTT vale 1 e ha probabilita' 4.59432431640625e-06
CCCTCTCCCT vale 1 e ha probabilita' 8.72921620117187e-05
CCCTTCCCTC vale 1 e ha probabilita' 8.72921620117187e-05
CCCTTCCCTT vale 1 e ha probabilita' 4.59432431640625e-06
CCCTTTCCCT vale 1 e ha probabilita' 4.59432431640625e-06
CCTCCCTCCC vale 1 e ha probabilita' 0.00165855107822266
CCTCCCTCCT vale 1 e ha probabilita' 8.72921620117187e-05
CCTCCCTCTC vale 1 e ha probabilita' 8.72921620117187e-05
CCTCCCTCTT vale 1 e ha probabilita' 4.59432431640625e-06
CCTCCCTTCC vale 1 e ha probabilita' 8.72921620117187e-05
CCTCCCTTCT vale 1 e ha probabilita' 4.59432431640625e-06
CCTCCCTTTC vale 1 e ha probabilita' 4.59432431640625e-06
CCTCCCTTTT vale 1 e ha probabilita' 2.4180654296875e-07
CCTCCTCCCT vale 1 e ha probabilita' 8.72921620117187e-05
CCTCTCCCTC vale 1 e ha probabilita' 8.72921620117187e-05
CCTCTCCCTT vale 1 e ha probabilita' 4.59432431640625e-06
CCTCTTCCCT vale 1 e ha probabilita' 4.59432431640625e-06
CCTTCCCTCC vale 1 e ha probabilita' 8.72921620117187e-05
CCTTCCCTCT vale 1 e ha probabilita' 4.59432431640625e-06
CCTTCCCTTC vale 1 e ha probabilita' 4.59432431640625e-06
CCTTCCCTTT vale 1 e ha probabilita' 2.4180654296875e-07
CCTTCTCCCT vale 1 e ha probabilita' 4.59432431640625e-06
CCTTTCCCTC vale 1 e ha probabilita' 4.59432431640625e-06
CCTTTCCCTT vale 1 e ha probabilita' 2.4180654296875e-07
CCTTTTCCCT vale 1 e ha probabilita' 2.4180654296875e-07
CTCCCTCCCC vale 1 e ha probabilita' 0.00165855107822266
CTCCCTCCCT vale 2 e ha probabilita' 8.72921620117187e-05
CTCCCTCCTC vale 1 e ha probabilita' 8.72921620117187e-05
CTCCCTCCTT vale 1 e ha probabilita' 4.59432431640625e-06
CTCCCTCTCC vale 1 e ha probabilita' 8.72921620117187e-05
CTCCCTCTCT vale 1 e ha probabilita' 4.59432431640625e-06
CTCCCTCTTC vale 1 e ha probabilita' 4.59432431640625e-06
CTCCCTCTTT vale 1 e ha probabilita' 2.4180654296875e-07
CTCCCTTCCC vale 1 e ha probabilita' 8.72921620117187e-05
CTCCCTTCCT vale 1 e ha probabilita' 4.59432431640625e-06
CTCCCTTCTC vale 1 e ha probabilita' 4.59432431640625e-06
CTCCCTTCTT vale 1 e ha probabilita' 2.4180654296875e-07
CTCCCTTTCC vale 1 e ha probabilita' 4.59432431640625e-06
CTCCCTTTCT vale 1 e ha probabilita' 2.4180654296875e-07
CTCCCTTTTC vale 1 e ha probabilita' 2.4180654296875e-07
CTCCCTTTTT vale 1 e ha probabilita' 1.272666015625e-08
CTCCTCCCTC vale 1 e ha probabilita' 8.72921620117187e-05
CTCCTCCCTT vale 1 e ha probabilita' 4.59432431640625e-06
CTCCTTCCCT vale 1 e ha probabilita' 4.59432431640625e-06
CTCTCCCTCC vale 1 e ha probabilita' 8.72921620117187e-05
CTCTCCCTCT vale 1 e ha probabilita' 4.59432431640625e-06
CTCTCCCTTC vale 1 e ha probabilita' 4.59432431640625e-06
CTCTCCCTTT vale 1 e ha probabilita' 2.4180654296875e-07
CTCTCTCCCT vale 1 e ha probabilita' 4.59432431640625e-06
CTCTTCCCTC vale 1 e ha probabilita' 4.59432431640625e-06
CTCTTCCCTT vale 1 e ha probabilita' 2.4180654296875e-07
CTCTTTCCCT vale 1 e ha probabilita' 2.4180654296875e-07
CTTCCCTCCC vale 1 e ha probabilita' 8.72921620117187e-05
CTTCCCTCCT vale 1 e ha probabilita' 4.59432431640625e-06
CTTCCCTCTC vale 1 e ha probabilita' 4.59432431640625e-06
CTTCCCTCTT vale 1 e ha probabilita' 2.4180654296875e-07
CTTCCCTTCC vale 1 e ha probabilita' 4.59432431640625e-06
CTTCCCTTCT vale 1 e ha probabilita' 2.4180654296875e-07
CTTCCCTTTC vale 1 e ha probabilita' 2.4180654296875e-07
CTTCCCTTTT vale 1 e ha probabilita' 1.272666015625e-08
CTTCCTCCCT vale 1 e ha probabilita' 4.59432431640625e-06
CTTCTCCCTC vale 1 e ha probabilita' 4.59432431640625e-06
CTTCTCCCTT vale 1 e ha probabilita' 2.4180654296875e-07
CTTCTTCCCT vale 1 e ha probabilita' 2.4180654296875e-07
CTTTCCCTCC vale 1 e ha probabilita' 4.59432431640625e-06
CTTTCCCTCT vale 1 e ha probabilita' 2.4180654296875e-07
CTTTCCCTTC vale 1 e ha probabilita' 2.4180654296875e-07
CTTTCCCTTT vale 1 e ha probabilita' 1.272666015625e-08
CTTTCTCCCT vale 1 e ha probabilita' 2.4180654296875e-07
CTTTTCCCTC vale 1 e ha probabilita' 2.4180654296875e-07
CTTTTCCCTT vale 1 e ha probabilita' 1.272666015625e-08
CTTTTTCCCT vale 1 e ha probabilita' 1.272666015625e-08
TCCCCTCCCT vale 1 e ha probabilita' 8.72921620117187e-05
TCCCTCCCCC vale 1 e ha probabilita' 0.00165855107822266
TCCCTCCCCT vale 1 e ha probabilita' 8.72921620117187e-05
TCCCTCCCTC vale 2 e ha probabilita' 8.72921620117187e-05
TCCCTCCCTT vale 2 e ha probabilita' 4.59432431640625e-06
TCCCTCCTCC vale 1 e ha probabilita' 8.72921620117187e-05
TCCCTCCTCT vale 1 e ha probabilita' 4.59432431640625e-06
TCCCTCCTTC vale 1 e ha probabilita' 4.59432431640625e-06
TCCCTCCTTT vale 1 e ha probabilita' 2.4180654296875e-07
TCCCTCTCCC vale 1 e ha probabilita' 8.72921620117187e-05
TCCCTCTCCT vale 1 e ha probabilita' 4.59432431640625e-06
TCCCTCTCTC vale 1 e ha probabilita' 4.59432431640625e-06
TCCCTCTCTT vale 1 e ha probabilita' 2.4180654296875e-07
TCCCTCTTCC vale 1 e ha probabilita' 4.59432431640625e-06
TCCCTCTTCT vale 1 e ha probabilita' 2.4180654296875e-07
TCCCTCTTTC vale 1 e ha probabilita' 2.4180654296875e-07
TCCCTCTTTT vale 1 e ha probabilita' 1.272666015625e-08
TCCCTTCCCC vale 1 e ha probabilita' 8.72921620117187e-05
TCCCTTCCCT vale 2 e ha probabilita' 4.59432431640625e-06
TCCCTTCCTC vale 1 e ha probabilita' 4.59432431640625e-06
TCCCTTCCTT vale 1 e ha probabilita' 2.4180654296875e-07
TCCCTTCTCC vale 1 e ha probabilita' 4.59432431640625e-06
TCCCTTCTCT vale 1 e ha probabilita' 2.4180654296875e-07
TCCCTTCTTC vale 1 e ha probabilita' 2.4180654296875e-07
TCCCTTCTTT vale 1 e ha probabilita' 1.272666015625e-08
TCCCTTTCCC vale 1 e ha probabilita' 4.59432431640625e-06
TCCCTTTCCT vale 1 e ha probabilita' 2.4180654296875e-07
TCCCTTTCTC vale 1 e ha probabilita' 2.4180654296875e-07
TCCCTTTCTT vale 1 e ha probabilita' 1.272666015625e-08
TCCCTTTTCC vale 1 e ha probabilita' 2.4180654296875e-07
TCCCTTTTCT vale 1 e ha probabilita' 1.272666015625e-08
TCCCTTTTTC vale 1 e ha probabilita' 1.272666015625e-08
TCCCTTTTTT vale 1 e ha probabilita' 6.6982421875e-10
TCCTCCCTCC vale 1 e ha probabilita' 8.72921620117187e-05
TCCTCCCTCT vale 1 e ha probabilita' 4.59432431640625e-06
TCCTCCCTTC vale 1 e ha probabilita' 4.59432431640625e-06
TCCTCCCTTT vale 1 e ha probabilita' 2.4180654296875e-07
TCCTCTCCCT vale 1 e ha probabilita' 4.59432431640625e-06
TCCTTCCCTC vale 1 e ha probabilita' 4.59432431640625e-06
TCCTTCCCTT vale 1 e ha probabilita' 2.4180654296875e-07
TCCTTTCCCT vale 1 e ha probabilita' 2.4180654296875e-07
TCTCCCTCCC vale 1 e ha probabilita' 8.72921620117187e-05
TCTCCCTCCT vale 1 e ha probabilita' 4.59432431640625e-06
TCTCCCTCTC vale 1 e ha probabilita' 4.59432431640625e-06
TCTCCCTCTT vale 1 e ha probabilita' 2.4180654296875e-07
TCTCCCTTCC vale 1 e ha probabilita' 4.59432431640625e-06
TCTCCCTTCT vale 1 e ha probabilita' 2.4180654296875e-07
TCTCCCTTTC vale 1 e ha probabilita' 2.4180654296875e-07
TCTCCCTTTT vale 1 e ha probabilita' 1.272666015625e-08
TCTCCTCCCT vale 1 e ha probabilita' 4.59432431640625e-06
TCTCTCCCTC vale 1 e ha probabilita' 4.59432431640625e-06
TCTCTCCCTT vale 1 e ha probabilita' 2.4180654296875e-07
TCTCTTCCCT vale 1 e ha probabilita' 2.4180654296875e-07
TCTTCCCTCC vale 1 e ha probabilita' 4.59432431640625e-06
TCTTCCCTCT vale 1 e ha probabilita' 2.4180654296875e-07
TCTTCCCTTC vale 1 e ha probabilita' 2.4180654296875e-07
TCTTCCCTTT vale 1 e ha probabilita' 1.272666015625e-08
TCTTCTCCCT vale 1 e ha probabilita' 2.4180654296875e-07
TCTTTCCCTC vale 1 e ha probabilita' 2.4180654296875e-07
TCTTTCCCTT vale 1 e ha probabilita' 1.272666015625e-08
TCTTTTCCCT vale 1 e ha probabilita' 1.272666015625e-08
TTCCCTCCCC vale 1 e ha probabilita' 8.72921620117188e-05
TTCCCTCCCT vale 2 e ha probabilita' 4.59432431640625e-06
TTCCCTCCTC vale 1 e ha probabilita' 4.59432431640625e-06
TTCCCTCCTT vale 1 e ha probabilita' 2.4180654296875e-07
TTCCCTCTCC vale 1 e ha probabilita' 4.59432431640625e-06
TTCCCTCTCT vale 1 e ha probabilita' 2.4180654296875e-07
TTCCCTCTTC vale 1 e ha probabilita' 2.4180654296875e-07
TTCCCTCTTT vale 1 e ha probabilita' 1.272666015625e-08
TTCCCTTCCC vale 1 e ha probabilita' 4.59432431640625e-06
TTCCCTTCCT vale 1 e ha probabilita' 2.4180654296875e-07
TTCCCTTCTC vale 1 e ha probabilita' 2.4180654296875e-07
TTCCCTTCTT vale 1 e ha probabilita' 1.272666015625e-08
TTCCCTTTCC vale 1 e ha probabilita' 2.4180654296875e-07
TTCCCTTTCT vale 1 e ha probabilita' 1.272666015625e-08
TTCCCTTTTC vale 1 e ha probabilita' 1.272666015625e-08
TTCCCTTTTT vale 1 e ha probabilita' 6.6982421875e-10
TTCCTCCCTC vale 1 e ha probabilita' 4.59432431640625e-06
TTCCTCCCTT vale 1 e ha probabilita' 2.4180654296875e-07
TTCCTTCCCT vale 1 e ha probabilita' 2.4180654296875e-07
TTCTCCCTCC vale 1 e ha probabilita' 4.59432431640625e-06
TTCTCCCTCT vale 1 e ha probabilita' 2.4180654296875e-07
TTCTCCCTTC vale 1 e ha probabilita' 2.4180654296875e-07
TTCTCCCTTT vale 1 e ha probabilita' 1.272666015625e-08
TTCTCTCCCT vale 1 e ha probabilita' 2.4180654296875e-07
TTCTTCCCTC vale 1 e ha probabilita' 2.4180654296875e-07
TTCTTCCCTT vale 1 e ha probabilita' 1.272666015625e-08
TTCTTTCCCT vale 1 e ha probabilita' 1.272666015625e-08
TTTCCCTCCC vale 1 e ha probabilita' 4.59432431640625e-06
TTTCCCTCCT vale 1 e ha probabilita' 2.4180654296875e-07
TTTCCCTCTC vale 1 e ha probabilita' 2.4180654296875e-07
TTTCCCTCTT vale 1 e ha probabilita' 1.272666015625e-08
TTTCCCTTCC vale 1 e ha probabilita' 2.4180654296875e-07
TTTCCCTTCT vale 1 e ha probabilita' 1.272666015625e-08
TTTCCCTTTC vale 1 e ha probabilita' 1.272666015625e-08
TTTCCCTTTT vale 1 e ha probabilita' 6.6982421875e-10
TTTCCTCCCT vale 1 e ha probabilita' 2.4180654296875e-07
TTTCTCCCTC vale 1 e ha probabilita' 2.4180654296875e-07
TTTCTCCCTT vale 1 e ha probabilita' 1.272666015625e-08
TTTCTTCCCT vale 1 e ha probabilita' 1.272666015625e-08
TTTTCCCTCC vale 1 e ha probabilita' 2.4180654296875e-07
TTTTCCCTCT vale 1 e ha probabilita' 1.272666015625e-08
TTTTCCCTTC vale 1 e ha probabilita' 1.272666015625e-08
TTTTCCCTTT vale 1 e ha probabilita' 6.6982421875e-10
TTTTCTCCCT vale 1 e ha probabilita' 1.272666015625e-08
TTTTTCCCTC vale 1 e ha probabilita' 1.272666015625e-08
TTTTTCCCTT vale 1 e ha probabilita' 6.6982421875e-10
TTTTTTCCCT vale 1 e ha probabilita' 6.6982421875e-10
0 ha probabilita' complessiva 0.987327742296988
1 ha probabilita' complessiva 0.0124838904060547
2 ha probabilita' complessiva 0.000188367296972656
Media 0.012860625, la formula dice 0.012860625

In questo caso la forza bruta di calcolare i punteggi per tutte e 1024
le possibilita' e la formula sono d'accordo.

Proviamo con n=24, p=0.05. Senza tutto l'elenco delle combinazioni
perche' e' ovviamente molto molto lungo:

./coinproblem2.p 24 0.05
.
.
.
TTTTTTTTTTTTTTTTTTCCCTTC vale 1 e ha probabilita' 7.76773691177369e-27
TTTTTTTTTTTTTTTTTTCCCTTT vale 1 e ha probabilita' 4.08828258514405e-28
TTTTTTTTTTTTTTTTTTCTCCCT vale 1 e ha probabilita' 7.76773691177369e-27
TTTTTTTTTTTTTTTTTTTCCCTC vale 1 e ha probabilita' 7.76773691177369e-27
TTTTTTTTTTTTTTTTTTTCCCTT vale 1 e ha probabilita' 4.08828258514405e-28
TTTTTTTTTTTTTTTTTTTTCCCT vale 1 e ha probabilita' 4.08828258514405e-28
0 ha probabilita' complessiva 0.959079414171679
1 ha probabilita' complessiva 0.0390437038385894
2 ha probabilita' complessiva 0.00180761810263721
3 ha probabilita' complessiva 6.72836893296628e-05
4 ha probabilita' complessiva 1.94212080562644e-06
5 ha probabilita' complessiva 3.80803674414906e-08
Media 0.0428687499969126, la formula dice 0.04286875

Se sto sbagliando, puoi dirmi come?
piergiorgio.benenati@gmail.com 8 Lug 2017 15:48
Il giorno venerdì 7 luglio 2017 19:55:25 UTC+2, Adam Atkinson ha scritto:
> On 07/07/17 13:33, piergiorgio.benenati@gmail.com wrote:
>
>> Chiedo scusa se c'è qualcosa che mi sfugge, ma la formula di Adam
>> (n-4)p^2(q^3) mi sembra che *non* fornisca il risultato cercato.
>
> No? Versione piu' prolissa del programmino. Adesso stampa le sucessioni
> con almeno una copia di TCCCT, dice quante copie contengono, e la
> probabilita' di quella successione. Alla fine la probabilita'
> complessiva dei vari punteggi, e la loro media. E finalmente il
> risultato ottenuto con la formula.
>
> #!/usr/bin/perl
>
> $n=shift;
> $p=shift;
> #p is heads
>
> $q=1-$p;
> # q is tails
>
> $guess=($n-4)*($p**2)*($q**3);
>
> if ($n<5) {
> $guess=0;
> }
>
> $mean=0;
> for $i (0..(2<<$n-1)-1) {
> $s="";
> $ps=1;
> $val=0;
> for $j (0..$n-1) {
> if (($i & 1<<$j)>0) {
> $s="T".$s;
> $ps*=$p;
> } else {
> $s="C".$s;
> $ps*=$q;
> }
> }
> #print "$i $s\n";
> for $k (0..$n-5) {
> $in=index $s, "TCCCT", $k;
> #print "$k $in\n";
> if ($in==$k) {
> $val++;
> }
> }
> if ($val>0) {
> print "$s vale $val e ha probabilita' $ps\n";
> }
> #$mean+=$val*$ps;
> $prob[$val]+=$ps;
>
> #print "$i $mean\n";
>
> }
> for (0.. $#prob) {
> print "$_ ha probabilita' complessiva $prob[$_]\n";
> $mean+=$_*$prob[$_]
> }
>
> print "Media $mean, la formula dice $guess\n";
>
>> questo
>> caso n=10, e p=0.05 per esempio.
>
> facciamo con 10 e 0.05, allora:
>
> adam@adam2015:~$ ./coinproblem2.p 10 0.05
> CCCCCTCCCT vale 1 e ha probabilita' 0.00165855107822266
> CCCCTCCCTC vale 1 e ha probabilita' 0.00165855107822266
> CCCCTCCCTT vale 1 e ha probabilita' 8.72921620117187e-05
> CCCCTTCCCT vale 1 e ha probabilita' 8.72921620117187e-05
> CCCTCCCTCC vale 1 e ha probabilita' 0.00165855107822266
> CCCTCCCTCT vale 1 e ha probabilita' 8.72921620117188e-05
> CCCTCCCTTC vale 1 e ha probabilita' 8.72921620117188e-05
> CCCTCCCTTT vale 1 e ha probabilita' 4.59432431640625e-06
> CCCTCTCCCT vale 1 e ha probabilita' 8.72921620117187e-05
> CCCTTCCCTC vale 1 e ha probabilita' 8.72921620117187e-05
> CCCTTCCCTT vale 1 e ha probabilita' 4.59432431640625e-06
> CCCTTTCCCT vale 1 e ha probabilita' 4.59432431640625e-06
> CCTCCCTCCC vale 1 e ha probabilita' 0.00165855107822266
> CCTCCCTCCT vale 1 e ha probabilita' 8.72921620117187e-05
> CCTCCCTCTC vale 1 e ha probabilita' 8.72921620117187e-05
> CCTCCCTCTT vale 1 e ha probabilita' 4.59432431640625e-06
> CCTCCCTTCC vale 1 e ha probabilita' 8.72921620117187e-05
> CCTCCCTTCT vale 1 e ha probabilita' 4.59432431640625e-06
> CCTCCCTTTC vale 1 e ha probabilita' 4.59432431640625e-06
> CCTCCCTTTT vale 1 e ha probabilita' 2.4180654296875e-07
> CCTCCTCCCT vale 1 e ha probabilita' 8.72921620117187e-05
> CCTCTCCCTC vale 1 e ha probabilita' 8.72921620117187e-05
> CCTCTCCCTT vale 1 e ha probabilita' 4.59432431640625e-06
> CCTCTTCCCT vale 1 e ha probabilita' 4.59432431640625e-06
> CCTTCCCTCC vale 1 e ha probabilita' 8.72921620117187e-05
> CCTTCCCTCT vale 1 e ha probabilita' 4.59432431640625e-06
> CCTTCCCTTC vale 1 e ha probabilita' 4.59432431640625e-06
> CCTTCCCTTT vale 1 e ha probabilita' 2.4180654296875e-07
> CCTTCTCCCT vale 1 e ha probabilita' 4.59432431640625e-06
> CCTTTCCCTC vale 1 e ha probabilita' 4.59432431640625e-06
> CCTTTCCCTT vale 1 e ha probabilita' 2.4180654296875e-07
> CCTTTTCCCT vale 1 e ha probabilita' 2.4180654296875e-07
> CTCCCTCCCC vale 1 e ha probabilita' 0.00165855107822266
> CTCCCTCCCT vale 2 e ha probabilita' 8.72921620117187e-05
> CTCCCTCCTC vale 1 e ha probabilita' 8.72921620117187e-05
> CTCCCTCCTT vale 1 e ha probabilita' 4.59432431640625e-06
> CTCCCTCTCC vale 1 e ha probabilita' 8.72921620117187e-05
> CTCCCTCTCT vale 1 e ha probabilita' 4.59432431640625e-06
> CTCCCTCTTC vale 1 e ha probabilita' 4.59432431640625e-06
> CTCCCTCTTT vale 1 e ha probabilita' 2.4180654296875e-07
> CTCCCTTCCC vale 1 e ha probabilita' 8.72921620117187e-05
> CTCCCTTCCT vale 1 e ha probabilita' 4.59432431640625e-06
> CTCCCTTCTC vale 1 e ha probabilita' 4.59432431640625e-06
> CTCCCTTCTT vale 1 e ha probabilita' 2.4180654296875e-07
> CTCCCTTTCC vale 1 e ha probabilita' 4.59432431640625e-06
> CTCCCTTTCT vale 1 e ha probabilita' 2.4180654296875e-07
> CTCCCTTTTC vale 1 e ha probabilita' 2.4180654296875e-07
> CTCCCTTTTT vale 1 e ha probabilita' 1.272666015625e-08
> CTCCTCCCTC vale 1 e ha probabilita' 8.72921620117187e-05
> CTCCTCCCTT vale 1 e ha probabilita' 4.59432431640625e-06
> CTCCTTCCCT vale 1 e ha probabilita' 4.59432431640625e-06
> CTCTCCCTCC vale 1 e ha probabilita' 8.72921620117187e-05
> CTCTCCCTCT vale 1 e ha probabilita' 4.59432431640625e-06
> CTCTCCCTTC vale 1 e ha probabilita' 4.59432431640625e-06
> CTCTCCCTTT vale 1 e ha probabilita' 2.4180654296875e-07
> CTCTCTCCCT vale 1 e ha probabilita' 4.59432431640625e-06
> CTCTTCCCTC vale 1 e ha probabilita' 4.59432431640625e-06
> CTCTTCCCTT vale 1 e ha probabilita' 2.4180654296875e-07
> CTCTTTCCCT vale 1 e ha probabilita' 2.4180654296875e-07
> CTTCCCTCCC vale 1 e ha probabilita' 8.72921620117187e-05
> CTTCCCTCCT vale 1 e ha probabilita' 4.59432431640625e-06
> CTTCCCTCTC vale 1 e ha probabilita' 4.59432431640625e-06
> CTTCCCTCTT vale 1 e ha probabilita' 2.4180654296875e-07
> CTTCCCTTCC vale 1 e ha probabilita' 4.59432431640625e-06
> CTTCCCTTCT vale 1 e ha probabilita' 2.4180654296875e-07
> CTTCCCTTTC vale 1 e ha probabilita' 2.4180654296875e-07
> CTTCCCTTTT vale 1 e ha probabilita' 1.272666015625e-08
> CTTCCTCCCT vale 1 e ha probabilita' 4.59432431640625e-06
> CTTCTCCCTC vale 1 e ha probabilita' 4.59432431640625e-06
> CTTCTCCCTT vale 1 e ha probabilita' 2.4180654296875e-07
> CTTCTTCCCT vale 1 e ha probabilita' 2.4180654296875e-07
> CTTTCCCTCC vale 1 e ha probabilita' 4.59432431640625e-06
> CTTTCCCTCT vale 1 e ha probabilita' 2.4180654296875e-07
> CTTTCCCTTC vale 1 e ha probabilita' 2.4180654296875e-07
> CTTTCCCTTT vale 1 e ha probabilita' 1.272666015625e-08
> CTTTCTCCCT vale 1 e ha probabilita' 2.4180654296875e-07
> CTTTTCCCTC vale 1 e ha probabilita' 2.4180654296875e-07
> CTTTTCCCTT vale 1 e ha probabilita' 1.272666015625e-08
> CTTTTTCCCT vale 1 e ha probabilita' 1.272666015625e-08
> TCCCCTCCCT vale 1 e ha probabilita' 8.72921620117187e-05
> TCCCTCCCCC vale 1 e ha probabilita' 0.00165855107822266
> TCCCTCCCCT vale 1 e ha probabilita' 8.72921620117187e-05
> TCCCTCCCTC vale 2 e ha probabilita' 8.72921620117187e-05
> TCCCTCCCTT vale 2 e ha probabilita' 4.59432431640625e-06
> TCCCTCCTCC vale 1 e ha probabilita' 8.72921620117187e-05
> TCCCTCCTCT vale 1 e ha probabilita' 4.59432431640625e-06
> TCCCTCCTTC vale 1 e ha probabilita' 4.59432431640625e-06
> TCCCTCCTTT vale 1 e ha probabilita' 2.4180654296875e-07
> TCCCTCTCCC vale 1 e ha probabilita' 8.72921620117187e-05
> TCCCTCTCCT vale 1 e ha probabilita' 4.59432431640625e-06
> TCCCTCTCTC vale 1 e ha probabilita' 4.59432431640625e-06
> TCCCTCTCTT vale 1 e ha probabilita' 2.4180654296875e-07
> TCCCTCTTCC vale 1 e ha probabilita' 4.59432431640625e-06
> TCCCTCTTCT vale 1 e ha probabilita' 2.4180654296875e-07
> TCCCTCTTTC vale 1 e ha probabilita' 2.4180654296875e-07
> TCCCTCTTTT vale 1 e ha probabilita' 1.272666015625e-08
> TCCCTTCCCC vale 1 e ha probabilita' 8.72921620117187e-05
> TCCCTTCCCT vale 2 e ha probabilita' 4.59432431640625e-06
> TCCCTTCCTC vale 1 e ha probabilita' 4.59432431640625e-06
> TCCCTTCCTT vale 1 e ha probabilita' 2.4180654296875e-07
> TCCCTTCTCC vale 1 e ha probabilita' 4.59432431640625e-06
> TCCCTTCTCT vale 1 e ha probabilita' 2.4180654296875e-07
> TCCCTTCTTC vale 1 e ha probabilita' 2.4180654296875e-07
> TCCCTTCTTT vale 1 e ha probabilita' 1.272666015625e-08
> TCCCTTTCCC vale 1 e ha probabilita' 4.59432431640625e-06
> TCCCTTTCCT vale 1 e ha probabilita' 2.4180654296875e-07
> TCCCTTTCTC vale 1 e ha probabilita' 2.4180654296875e-07
> TCCCTTTCTT vale 1 e ha probabilita' 1.272666015625e-08
> TCCCTTTTCC vale 1 e ha probabilita' 2.4180654296875e-07
> TCCCTTTTCT vale 1 e ha probabilita' 1.272666015625e-08
> TCCCTTTTTC vale 1 e ha probabilita' 1.272666015625e-08
> TCCCTTTTTT vale 1 e ha probabilita' 6.6982421875e-10
> TCCTCCCTCC vale 1 e ha probabilita' 8.72921620117187e-05
> TCCTCCCTCT vale 1 e ha probabilita' 4.59432431640625e-06
> TCCTCCCTTC vale 1 e ha probabilita' 4.59432431640625e-06
> TCCTCCCTTT vale 1 e ha probabilita' 2.4180654296875e-07
> TCCTCTCCCT vale 1 e ha probabilita' 4.59432431640625e-06
> TCCTTCCCTC vale 1 e ha probabilita' 4.59432431640625e-06
> TCCTTCCCTT vale 1 e ha probabilita' 2.4180654296875e-07
> TCCTTTCCCT vale 1 e ha probabilita' 2.4180654296875e-07
> TCTCCCTCCC vale 1 e ha probabilita' 8.72921620117187e-05
> TCTCCCTCCT vale 1 e ha probabilita' 4.59432431640625e-06
> TCTCCCTCTC vale 1 e ha probabilita' 4.59432431640625e-06
> TCTCCCTCTT vale 1 e ha probabilita' 2.4180654296875e-07
> TCTCCCTTCC vale 1 e ha probabilita' 4.59432431640625e-06
> TCTCCCTTCT vale 1 e ha probabilita' 2.4180654296875e-07
> TCTCCCTTTC vale 1 e ha probabilita' 2.4180654296875e-07
> TCTCCCTTTT vale 1 e ha probabilita' 1.272666015625e-08
> TCTCCTCCCT vale 1 e ha probabilita' 4.59432431640625e-06
> TCTCTCCCTC vale 1 e ha probabilita' 4.59432431640625e-06
> TCTCTCCCTT vale 1 e ha probabilita' 2.4180654296875e-07
> TCTCTTCCCT vale 1 e ha probabilita' 2.4180654296875e-07
> TCTTCCCTCC vale 1 e ha probabilita' 4.59432431640625e-06
> TCTTCCCTCT vale 1 e ha probabilita' 2.4180654296875e-07
> TCTTCCCTTC vale 1 e ha probabilita' 2.4180654296875e-07
> TCTTCCCTTT vale 1 e ha probabilita' 1.272666015625e-08
> TCTTCTCCCT vale 1 e ha probabilita' 2.4180654296875e-07
> TCTTTCCCTC vale 1 e ha probabilita' 2.4180654296875e-07
> TCTTTCCCTT vale 1 e ha probabilita' 1.272666015625e-08
> TCTTTTCCCT vale 1 e ha probabilita' 1.272666015625e-08
> TTCCCTCCCC vale 1 e ha probabilita' 8.72921620117188e-05
> TTCCCTCCCT vale 2 e ha probabilita' 4.59432431640625e-06
> TTCCCTCCTC vale 1 e ha probabilita' 4.59432431640625e-06
> TTCCCTCCTT vale 1 e ha probabilita' 2.4180654296875e-07
> TTCCCTCTCC vale 1 e ha probabilita' 4.59432431640625e-06
> TTCCCTCTCT vale 1 e ha probabilita' 2.4180654296875e-07
> TTCCCTCTTC vale 1 e ha probabilita' 2.4180654296875e-07
> TTCCCTCTTT vale 1 e ha probabilita' 1.272666015625e-08
> TTCCCTTCCC vale 1 e ha probabilita' 4.59432431640625e-06
> TTCCCTTCCT vale 1 e ha probabilita' 2.4180654296875e-07
> TTCCCTTCTC vale 1 e ha probabilita' 2.4180654296875e-07
> TTCCCTTCTT vale 1 e ha probabilita' 1.272666015625e-08
> TTCCCTTTCC vale 1 e ha probabilita' 2.4180654296875e-07
> TTCCCTTTCT vale 1 e ha probabilita' 1.272666015625e-08
> TTCCCTTTTC vale 1 e ha probabilita' 1.272666015625e-08
> TTCCCTTTTT vale 1 e ha probabilita' 6.6982421875e-10
> TTCCTCCCTC vale 1 e ha probabilita' 4.59432431640625e-06
> TTCCTCCCTT vale 1 e ha probabilita' 2.4180654296875e-07
> TTCCTTCCCT vale 1 e ha probabilita' 2.4180654296875e-07
> TTCTCCCTCC vale 1 e ha probabilita' 4.59432431640625e-06
> TTCTCCCTCT vale 1 e ha probabilita' 2.4180654296875e-07
> TTCTCCCTTC vale 1 e ha probabilita' 2.4180654296875e-07
> TTCTCCCTTT vale 1 e ha probabilita' 1.272666015625e-08
> TTCTCTCCCT vale 1 e ha probabilita' 2.4180654296875e-07
> TTCTTCCCTC vale 1 e ha probabilita' 2.4180654296875e-07
> TTCTTCCCTT vale 1 e ha probabilita' 1.272666015625e-08
> TTCTTTCCCT vale 1 e ha probabilita' 1.272666015625e-08
> TTTCCCTCCC vale 1 e ha probabilita' 4.59432431640625e-06
> TTTCCCTCCT vale 1 e ha probabilita' 2.4180654296875e-07
> TTTCCCTCTC vale 1 e ha probabilita' 2.4180654296875e-07
> TTTCCCTCTT vale 1 e ha probabilita' 1.272666015625e-08
> TTTCCCTTCC vale 1 e ha probabilita' 2.4180654296875e-07
> TTTCCCTTCT vale 1 e ha probabilita' 1.272666015625e-08
> TTTCCCTTTC vale 1 e ha probabilita' 1.272666015625e-08
> TTTCCCTTTT vale 1 e ha probabilita' 6.6982421875e-10
> TTTCCTCCCT vale 1 e ha probabilita' 2.4180654296875e-07
> TTTCTCCCTC vale 1 e ha probabilita' 2.4180654296875e-07
> TTTCTCCCTT vale 1 e ha probabilita' 1.272666015625e-08
> TTTCTTCCCT vale 1 e ha probabilita' 1.272666015625e-08
> TTTTCCCTCC vale 1 e ha probabilita' 2.4180654296875e-07
> TTTTCCCTCT vale 1 e ha probabilita' 1.272666015625e-08
> TTTTCCCTTC vale 1 e ha probabilita' 1.272666015625e-08
> TTTTCCCTTT vale 1 e ha probabilita' 6.6982421875e-10
> TTTTCTCCCT vale 1 e ha probabilita' 1.272666015625e-08
> TTTTTCCCTC vale 1 e ha probabilita' 1.272666015625e-08
> TTTTTCCCTT vale 1 e ha probabilita' 6.6982421875e-10
> TTTTTTCCCT vale 1 e ha probabilita' 6.6982421875e-10
> 0 ha probabilita' complessiva 0.987327742296988
> 1 ha probabilita' complessiva 0.0124838904060547
> 2 ha probabilita' complessiva 0.000188367296972656
> Media 0.012860625, la formula dice 0.012860625
>
> In questo caso la forza bruta di calcolare i punteggi per tutte e 1024
> le possibilita' e la formula sono d'accordo.
>
> Proviamo con n=24, p=0.05. Senza tutto l'elenco delle combinazioni
> perche' e' ovviamente molto molto lungo:
>
> ./coinproblem2.p 24 0.05
> .
> .
> .
> TTTTTTTTTTTTTTTTTTCCCTTC vale 1 e ha probabilita' 7.76773691177369e-27
> TTTTTTTTTTTTTTTTTTCCCTTT vale 1 e ha probabilita' 4.08828258514405e-28
> TTTTTTTTTTTTTTTTTTCTCCCT vale 1 e ha probabilita' 7.76773691177369e-27
> TTTTTTTTTTTTTTTTTTTCCCTC vale 1 e ha probabilita' 7.76773691177369e-27
> TTTTTTTTTTTTTTTTTTTCCCTT vale 1 e ha probabilita' 4.08828258514405e-28
> TTTTTTTTTTTTTTTTTTTTCCCT vale 1 e ha probabilita' 4.08828258514405e-28
> 0 ha probabilita' complessiva 0.959079414171679
> 1 ha probabilita' complessiva 0.0390437038385894
> 2 ha probabilita' complessiva 0.00180761810263721
> 3 ha probabilita' complessiva 6.72836893296628e-05
> 4 ha probabilita' complessiva 1.94212080562644e-06
> 5 ha probabilita' complessiva 3.80803674414906e-08
> Media 0.0428687499969126, la formula dice 0.04286875
>
> Se sto sbagliando, puoi dirmi come?
---
Grazie Adam per il tuo aiuto.

Ho fatto anch'io qualcosa di simile per verificare la formula e viene come dici
tu. A questo punto però rimane (per me) da capire perché la formula è quella,
che è ciò che mi interessa davvero e ritengo sia istruttivo.

Quando ho scritto all'inizio la formula n(p^2)(q^3), ho pensato che fosse un
upper bound lasco non solo per "-4" da mettere alla fine, ma anche per la
seguente ragione:

Supponiamo di mettere anche il "-4" e abbiamo così (n-4)(p^2)(q^3). Come hai
detto tu, lo mettiamo perché al passo n-4, n-3, n-2, n-1 ed n, la probabilità
che si generi una sequenza TCCCT che parte da quel passo è nulla.
La formula (n-4)(p^2)(q^3) (o anche la prima che ho scritto, n(p^2)(q^3)), viene
*interpretata* da me nel modo seguente:

Ad ogni passo t da 1 a n-4 la probabilità che si generi una sequenza TCCCT è
p_s=(p^2)(q^3). In expectation quindi il numero di sequenze che si realizzano è
quindi n-4 volte p_s. Tuttavia questa *interpretazione*, o meglio questa
*dimostrazione* (perché è sostanzialmente la base per dimostrare come si
addiviene a quella formula) è in contrasto con il seguente fatto per esempio:

***** La probabilità che si realizzano n-4 sequenze è sempre nulla. Tuttavia,
*stando a questa interpretazione*, sarebbe pari a (p_s)^(n-4)=((p^2)(q^3))^(n-4)
che è maggiore di 0 per ogni p in (0,1), ma sappiamo benissimo che n/4 è un
upper bound del numero di sequenze che possono realizzarsi, e quindi la
probabilità con cui se ne realizzano n-4 è certamente sempre zero *****.

Quindi deduco che abbiamo il risultato corretto, che è quello che hai scritto,
io sono ora convinto che sia corretto, ma non so *perché* è corretto, visto
l'interpretazione dell'avere una bernoulliana con probabilità (p^2)(q^3) ed n-4
prove è in contrasto con quanto ho appena scritto nel paragrafo qui sopra.
Potresti quindi gentilmente spiegarmi perché (n-4)(p^2)(q^3) è corretto?

Grazie ancora per il tuo aiuto!
P.
Adam Atkinson 8 Lug 2017 16:58
On 08/07/17 14:48, piergiorgio.benenati@gmail.com wrote:
> Potresti quindi gentilmente
> spiegarmi perché (n-4)(p^2)(q^3) è corretto?

Mi sa che ti tocca googlare "linearity of expectation" o qualcosa del
genere, alla ricerca di qualcosa come:

https://web.stanford.edu/~dntse/classes/cs70_fall09/n13.pdf

Ma magari trovi altre spiegazioni che ti piacciono o convincono piu' di
questa.
piergiorgio.benenati@gmail.com 8 Lug 2017 17:09
Il giorno sabato 8 luglio 2017 16:58:28 UTC+2, Adam Atkinson ha scritto:
> On 08/07/17 14:48, piergiorgio.benenati@gmail.com wrote:
>> Potresti quindi gentilmente
>> spiegarmi perché (n-4)(p^2)(q^3) è corretto?
>
> Mi sa che ti tocca googlare "linearity of expectation" o qualcosa del
> genere, alla ricerca di qualcosa come:
>
> https://web.stanford.edu/~dntse/classes/cs70_fall09/n13.pdf
>
> Ma magari trovi altre spiegazioni che ti piacciono o convincono piu' di
> questa.

Sì, scusa hai ragione. Non so perché mi ero messo in testa che la mancanza di
totale indipendenza delle n-4 variabili potesse rappresentare un ostacolo.
Che figura...
Grazie ancora,
Ciao
P.
Adam Atkinson 8 Lug 2017 17:13
On 08/07/17 16:09, piergiorgio.benenati@gmail.com wrote:

> Sì, scusa hai ragione. Non so perché mi ero messo in testa che la
> mancanza di totale indipendenza delle n-4 variabili potesse
> rappresentare un ostacolo. Che figura...

Ma no! Un po' come il teorema di Sprague-Grundy o certi risultati sulle
catene di markov, sembra troppo bello per essere vero.
piergiorgio.benenati@gmail.com 8 Lug 2017 17:38
Il giorno sabato 8 luglio 2017 17:13:11 UTC+2, Adam Atkinson ha scritto:
> On 08/07/17 16:09, piergiorgio.benenati@gmail.com wrote:
>
>> Sì, scusa hai ragione. Non so perché mi ero messo in testa che la
>> mancanza di totale indipendenza delle n-4 variabili potesse
>> rappresentare un ostacolo. Che figura...
>
> Ma no! Un po' come il teorema di Sprague-Grundy o certi risultati sulle
> catene di markov, sembra troppo bello per essere vero.

Ma quello sul fatto della mancanza di condizioni di indipendenza per la
linearità del valore atteso deve essere ben noto anche a qualunque studente
univerisitario del primo semestre del primo anno, ancorché abbia una media di
18/30 (per intenderci).
Il mio super-io mi sta massacrando, non potete fermarlo con parole gentili :D
Ciao, grazie ancora.
P.

Links
Giochi online
Dizionario sinonimi
Leggi e codici
Ricette
Testi
Webmatica
Hosting gratis
   
 

Matematica. La regina delle scienze | Tutti i gruppi | it.scienza.matematica | Notizie e discussioni matematica | Matematica Mobile | Servizio di consultazione news.