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Equazione della retta nel piano

ADPUF 5 Lug 2017 21:51
Si dice che una retta nel piano cartesiano è rappresentata
dall'equazione generica:

a x + b y + c = 0

Ma c'è un "ma"!

Ci sono dei vincoli sui parametri a, b, c.

Uno è che non possono essere contemporaneamente nulli:
se a=b=c=0
allora qualsiasi coppia (x,y) soddisfa l'equazione, ossia la
retta sarebbe l'intero piano!

Un altro vincolo è che se a=b=0 allora anche c=0 e si ricade
nel caso precedente (se no sarebbe 0 =/= c == 0 impossibile)
per cui il secondo vincolo dice che o a o b devono essere
non-nulli.

si può sintetizzare i vincoli così:
1) aa+bb+cc>0
2) aa+bb>0

Ma il secondo implica il primo, per cui ne basta uno:

retta:
---
| a x + b y + c = 0
| aa+bb>0
---

Concludendo: una retta non è solo un'equazione ma anche un
vincolo sui parametri di essa.

Boh.

Sembro "radicale", no?
:-)


--
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Giorgio Pastore 6 Lug 2017 07:33
Il 05/07/17 21:51, ADPUF ha scritto:
> Si dice che una retta nel piano cartesiano è rappresentata
> dall'equazione generica:
>
> a x + b y + c = 0

chi lo dice ? Non hai letto le istruzioni scritte in piccolo :-)

>
> Ma c'è un "ma"!
>
> Ci sono dei vincoli sui parametri a, b, c.

E gia'.

....
> Concludendo: una retta non è solo un'equazione ma anche un
> vincolo sui parametri di essa.
>
> Boh.

E' anche piu' generale. Una curva non e' solo un' equazione f(x,y)=0 ma
anche le condizioni sotto cui (localmente) questa definisce y come
funzione di y o viceversa.
Giorgio Pastore 6 Lug 2017 08:08
Il 06/07/17 07:33, Giorgio Pastore ha scritto:
...
> anche le condizioni sotto cui (localmente) questa definisce y come
> funzione di x o viceversa.
Wakinian Tanka 6 Lug 2017 09:16
Il giorno giovedì 6 luglio 2017 07:33:52 UTC+2, Giorgio Pastore ha scritto:
>
> E' anche piu' generale. Una curva non e' solo un' equazione f(x,y)=0 ma
> anche le condizioni sotto cui (localmente) questa definisce y come
> funzione di y o viceversa.

Perche',

x = cos(t)
y = sin(t)
0<=t<=2pi

non e' una curva? Eppure non e' nella forma F(x,y) = 0 e non ho imposto
condizioni sotto cui y = f(x) oppure x = g(y).
Caso mai si devono imporre condizioni di continuita' e/o differenziabilita'.

--
Wakinian Tanka
Bruno Campanini 6 Lug 2017 11:49
Wakinian Tanka used his keyboard to write :
> Il giorno giovedì 6 luglio 2017 07:33:52 UTC+2, Giorgio Pastore ha scritto:
>>
>> E' anche piu' generale. Una curva non e' solo un' equazione f(x,y)=0 ma
>> anche le condizioni sotto cui (localmente) questa definisce y come
>> funzione di y o viceversa.
>
> Perche',
>
> x = cos(t)
> y = sin(t)
> 0<=t<=2pi
>
> non e' una curva? Eppure non e' nella forma F(x,y) = 0 e non ho imposto
> condizioni sotto cui y = f(x) oppure x = g(y). Caso mai si devono imporre
> condizioni di continuita' e/o differenziabilita'.

Laddove potrebbe anche essere che
t = e^q
q = 1/Ln(sqr(p)),
p = ArcCos(morto_che_parla)
morto_che_parla = la_mia_nonna_in_cariola
etc, etc...

Bruno
Giorgio Pastore 6 Lug 2017 22:52
Il 06/07/17 09:16, Wakinian Tanka ha scritto:
> Il giorno giovedì 6 luglio 2017 07:33:52 UTC+2, Giorgio Pastore ha scritto:
>>
>> E' anche piu' generale. Una curva non e' solo un' equazione f(x,y)=0 ma
>> anche le condizioni sotto cui (localmente) questa definisce y come
>> funzione di y o viceversa.
>
> Perche',
>
> x = cos(t)
> y = sin(t)
> 0<=t<=2pi
>
> non e' una curva? Eppure non e' nella forma F(x,y) = 0 e non ho imposto
condizioni sotto cui y = f(x) oppure x = g(y).
> Caso mai si devono imporre condizioni di continuita' e/o differenziabilita'.

Certo ma io rispondevo alla domanda dell' OP che partiva da una
descrizione del tipo f(x,y)=0. La tua precisazione è corretta ma non
c'entra molto con la domanda originale.
radicale.001@gmail.com 7 Lug 2017 21:18
Il giorno mercoledì 5 luglio 2017 21:51:41 UTC+2, ADPUF ha scritto:
> Si dice che una retta nel piano cartesiano è rappresentata
> dall'equazione generica:
> a x + b y + c = 0
> Ma c'è un "ma"!

(omissis)

francamente trovo quello che hai scritto concettualmente impreciso.

una *retta*, una volta fissato un riferimento, ha per equazione
una a x + b y + c = 0;

nel senso che è possibile trovare a,b,c tali da rappresentare
quella retta e questa terna a,b,c (ripeto : fissato il riferimento)
è unica.

Quindi la retta è una cosa, la equazione che la rappresenta è *altra*
cosa.

Ma non tutte le possibili equazioni di quel tipo possono rappresentare
rette (e questo a RI-prova che retta ed equazioni son due cose diverse)

Per poterlo fare occorre che a,b,c soddisfino certi criteri che sono
quelli che hai scritto te

Io la porrei cosi la questione
ADPUF 14 Lug 2017 21:34
radicale.001@gmail.com 21:18, venerdì 7 luglio 2017:
> Il giorno mercoledì 5 luglio 2017 21:51:41 UTC+2, ADPUF ha
>
>> Si dice che una retta nel piano cartesiano è rappresentata
>> dall'equazione generica:
>> a x + b y + c = 0
>> Ma c'è un "ma"!
>
> (omissis)
>
> francamente trovo quello che hai scritto concettualmente
> impreciso.
>
> una *retta*, una volta fissato un riferimento, ha per
> equazione una a x + b y + c = 0;
>
> nel senso che è possibile trovare a,b,c tali da
> rappresentare quella retta e questa terna a,b,c (ripeto :
> fissato il riferimento) è unica.


Solo per dire che a,b,c sono unici a meno di un fattore comune.

p.es. a=b=c=1 o a=b=c=2 sono la stessa cosa.

Ci sono anche rappresentazioni in coordinate omogenee (x=x1/x3,
y=x2/x3 l'eq. viene ax1+bx2+cx3=0) oppure duali in cui x,y a
a,b si scambiano i ruoli.
(non ricordo bene)


> Quindi la retta è una cosa, la equazione che la rappresenta è
> *altra* cosa.
>
> Ma non tutte le possibili equazioni di quel tipo possono
> rappresentare rette (e questo a RI-prova che retta ed
> equazioni son due cose diverse)
>
> Per poterlo fare occorre che a,b,c soddisfino certi criteri
> che sono quelli che hai scritto te
>
> Io la porrei cosi la questione

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