Matematica. La regina delle scienze
 

Calcolo della ridotta ennesima di una serie

piergiorgio.benenati@gmail.com 3 Lug 2017 13:29
Ciao a tutti,

Sapreste dirmi come si calcola
la somma di
k*(1-1/n)^k
per k che va da 0 a n?

Dovrebbe venire (1-2(1-1/n)^n)(n-1)n.

Grazie!
P.
Giorgio Pastore 3 Lug 2017 14:13
Il 03/07/17 13:29, piergiorgio.benenati@gmail.com ha scritto:
> Ciao a tutti,
>
> Sapreste dirmi come si calcola
> la somma di
> k*(1-1/n)^k
> per k che va da 0 a n?
>
> Dovrebbe venire (1-2(1-1/n)^n)(n-1)n.

Devi verificare che quello sia il risultato o lo devi ricavare ?
Giorgio Bibbiani 3 Lug 2017 14:23
piergiorgio.benenati@gmail.com ha scritto:
> Sapreste dirmi come si calcola
> la somma di
> k*(1-1/n)^k
> per k che va da 0 a n?
>
> Dovrebbe venire (1-2(1-1/n)^n)(n-1)n.

Pongo

(1) q = 1 - 1/n,

allora:

Sum_{k=0}^n k q^k = q @/@q Sum_{k=0}^n q^k =
(ora uso il risultato per la somma parziale di una serie geometrica)
q @/@q (1 - q^(n+1)) / (1 - q),

poi basta sviluppare i calcoli e infine sostituire a q dalla (1)
il suo valore in funzione di n.

Ciao
--
Giorgio Bibbiani
Giorgio Bibbiani 3 Lug 2017 14:28
Giorgio Bibbiani ha scritto, e corregge (mancava una parentesi):

> per la somma parziale di una serie geometrica)
> q @/@q ((1 - q^(n+1)) / (1 - q))

--
Giorgio Bibbiani
El Filibustero 3 Lug 2017 14:49
On Mon, 3 Jul 2017 04:29:02 -0700 (PDT),
piergiorgio.benenati@gmail.com wrote:

>Sapreste dirmi come si calcola
>la somma di
>k*(1-1/n)^k
>per k che va da 0 a n?
>
>Dovrebbe venire (1-2(1-1/n)^n)(n-1)n.

Hint: somma di una progressione geometrica. E' noto che

S=somma[k=0..n] x^k = (x^(n+1)-1)/(x-1) (*)

Per quanto riguarda somma[k=0..n] k*x^k, si puo' osservare che essa e'
uguale a n volte S,

meno somma[k=0..0] x^k,
meno somma[k=0..1] x^k,
meno somma[k=0..2] x^k,
meno somma[k=0..3] x^k,
...
meno somma[k=0..n-1] x^k.

Per mettere assieme in un'unica somma tutte queste somme da sottrarre
a n*S, risulta ancora utile (*), ottenendo cosi' che

somma[k=0..n] k*x^k = n*S - [(x^(n+1)-1)/(x-1)-(n+1)]/(x-1).

Ciao
piergiorgio.benenati@gmail.com 3 Lug 2017 15:54
Il giorno lunedì 3 luglio 2017 14:49:30 UTC+2, El Filibustero ha scritto:
> On Mon, 3 Jul 2017 04:29:02 -0700 (PDT),
> piergiorgio.benenati@gmail.com wrote:
>
>>Sapreste dirmi come si calcola
>>la somma di
>>k*(1-1/n)^k
>>per k che va da 0 a n?
>>
>>Dovrebbe venire (1-2(1-1/n)^n)(n-1)n.
>
> Hint: somma di una progressione geometrica. E' noto che
>
> S=somma[k=0..n] x^k = (x^(n+1)-1)/(x-1) (*)
>
> Per quanto riguarda somma[k=0..n] k*x^k, si puo' osservare che essa e'
> uguale a n volte S,
>
> meno somma[k=0..0] x^k,
> meno somma[k=0..1] x^k,
> meno somma[k=0..2] x^k,
> meno somma[k=0..3] x^k,
> ...
> meno somma[k=0..n-1] x^k.
>
> Per mettere assieme in un'unica somma tutte queste somme da sottrarre
> a n*S, risulta ancora utile (*), ottenendo cosi' che
>
> somma[k=0..n] k*x^k = n*S - [(x^(n+1)-1)/(x-1)-(n+1)]/(x-1).
>
> Ciao

Che bello, grazie! Splendida soluzione, molto chiara. Conoscevo bene la formula
per la progressione geometrica, ma mi mancava il passaggio centrale. Thanks.
PS: Grazie anche a Giorgio B. (sembrerà un dubbio stupido ma non ho capito cosa
significa "q @/@q", anche se il messaggio di El F. mi ha tolto ogni dubbio
sulla solzione.
Giorgio P. dovevo verificarla, mostrando come si ricava.
Grazie ancora!
P.
piergiorgio.benenati@gmail.com 3 Lug 2017 16:11
Il giorno lunedì 3 luglio 2017 15:56:54 UTC+2, Giorgio Bibbiani ha scritto:
> piergiorgio.benenati@gmail.com ha scritto:
>> PS: Grazie anche a Giorgio B. (sembrerà un dubbio stupido ma non ho
>> capito cosa significa "q @/@q", anche se il messaggio di El F. mi ha
>> tolto ogni dubbio sulla solzione.
>
> Significa q moltiplicato derivata parziale rispetto a q di cio' che segue.
>
> Ciao
> --
> Giorgio Bibbiani

ah, la chicchiola è un "\partial"! Avrei dovuto capirlo ^^', ok, grazie
Giorgio!
P.

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