Matematica. La regina delle scienze
 

*****isi in valore atteso di due processi di Bernoulli che si interfogliano

piergiorgio.benenati@gmail.com 30 Giu 2017 13:00
Buongiorno,

sapreste gentilmente suggerirmi come posso risolvere il seguente problema?

Ho due processi di Bernoulli B(p_1) e B(p_2) che modellano la sequenza di T
lanci di una moneta m_1 e la sequenza di T lanci di una moneta m_2 (definiamo
"testa"=successo della prova di Bernoulli).

Le due sequenze si interfogliano nel modo seguente: ad ogni tempo 1<=t<=2*T se t
è dispari viene lanciata m_1, mentre se t è pari viene lanciata m_2.

In funzione di T, p_1 e p_2, si chiede quante volte si verifica in valore atteso
il seguente evento:

tra due successi/"teste" della moneta m_1 avvenuti in tempi t' e t'' tali per
cui in nessun tempo t'<t<t'' è avvenuto un altro/a successo/"testa" per m_1,
non c'è alcun successo/"testa" per la moneta m_2?

--In altre parole si chiede qual è il valore atteso del numero di volte in cui
accade che tra due successi "consecutivi" nella sequenza del processo B(p_1) non
vi è alcun successo per B(p_2).

Grazie!
P.
Adam Atkinson 30 Giu 2017 20:38
On 30/06/17 12:00, piergiorgio.benenati@gmail.com wrote:

> Ho due processi di Bernoulli B(p_1) e B(p_2) che modellano la
> sequenza di T lanci di una moneta m_1 e la sequenza di T lanci di una
> moneta m_2 (definiamo "testa"=successo della prova di Bernoulli).
>
> Le due sequenze si interfogliano nel modo seguente: ad ogni tempo
> 1<=t<=2*T se t è dispari viene lanciata m_1, mentre se t è pari viene
> lanciata m_2.

Tanto vale ignorare l'ultimo lancio di m_2.

> In funzione di T, p_1 e p_2, si chiede quante volte si verifica in
> valore atteso il seguente evento:
>
> tra due successi/"teste" della moneta m_1 avvenuti in tempi t' e t''
> tali per cui in nessun tempo t'<t<t'' è avvenuto un altro/a
> successo/"testa" per m_1, non c'è alcun successo/"testa" per la
> moneta m_2?
>
> --In altre parole si chiede qual è il valore atteso del numero di
> volte in cui accade che tra due successi "consecutivi" nella sequenza
> del processo B(p_1) non vi è alcun successo per B(p_2).

TCTCTCTCTCTCTCT conta come 7 perche' e' successo 7 volte, o 1 perche' e'
successo? Mi pare 7 da quello che dici.
piergiorgio.benenati@gmail.com 1 Lug 2017 17:29
Grazie Adam per la risposta.

> Tanto vale ignorare l'ultimo lancio di m_2.
Corretto. Facciamo che m_2 viene lanciata T-1 volte anziché T volte (il
risultato comunque sarà identico).


> TCTCTCTCTCTCTCT conta come 7 perche' e' successo 7 volte, o 1 perche' e'
> successo? Mi pare 7 da quello che dici.

Questa sequenza conta 7 (hai fatto 15 lanci, 8 per m_1 e 7 per m_2), perché
l'evento descritto nel post iniziale accade 7 volte, i.e. tra tutti le teste
"consecutive" nella sequenza di m_1 (lanci dispari) il lancio di m_2 risulta
sempre croce.

Quest'altra per esempio conta 2 (ho numerato i lanci in modo che si riconosca se
è stata lanciata m_1 o m_2, i.e. lancio dispari o pari)

1C 2T 3T 4T 5C 6T 7T 8C 9T 10T 11T 12C 13C 14C 15T

perché ci sono solo due teste "consecutive" nella sequenza di lanci dispari di
m_1 (precisamente le coppie (7,9) e (11,15)) tra i quali nessun lancio per m_2
dà come risultato testa.

L'idea è di ottenere una risposta in funzione di p_1 e p_2 pensando il numero
di lanci T>>1.

Grazie
P.
Adam Atkinson 7 Lug 2017 07:26
On 01/07/17 16:29, piergiorgio.benenati@gmail.com wrote:

> L'idea è di ottenere una risposta in funzione di p_1 e p_2 pensando
> il numero di lanci T>>1.

A questo punto il problema mette insieme due altri problemi che hai postato.

Sia X_ij = 1 se i lanci i e j della prima moneta sono "T", tutti i lanci
intermedi dell'altra sono "C", e nessun altro lancio della prima moneta
e' T.

E[X_ij]= p_1^2q_2^(j-i)q_1^(j-i-1)

E tu vuoi la somma di tutti questi. Che verra'
p_1^2 (q_2^(n-1)q_1^(n-2) + 2q_2^(n-2)q_1^(n-3) +
3q_2^(n-3)q_1^(n-4)+... +(n-1)q_2)

e questo si puo' semplificare usando la risposta di Giorgio Bibbiani ad
un'altra tua domanda, direi

anche qui, controllerei con un programma molto simile a quello che ho
usato per l'altro problema
piergiorgio.benenati@gmail.com 7 Lug 2017 14:43
Il giorno venerdì 7 luglio 2017 07:26:16 UTC+2, Adam Atkinson ha scritto:
> On 01/07/17 16:29, piergiorgio.benenati@gmail.com wrote:
>
>> L'idea è di ottenere una risposta in funzione di p_1 e p_2 pensando
>> il numero di lanci T>>1.
>
> A questo punto il problema mette insieme due altri problemi che hai postato.
>
> Sia X_ij = 1 se i lanci i e j della prima moneta sono "T", tutti i lanci
> intermedi dell'altra sono "C", e nessun altro lancio della prima moneta
> e' T.
>
> E[X_ij]= p_1^2q_2^(j-i)q_1^(j-i-1)
>
> E tu vuoi la somma di tutti questi. Che verra'
> p_1^2 (q_2^(n-1)q_1^(n-2) + 2q_2^(n-2)q_1^(n-3) +
> 3q_2^(n-3)q_1^(n-4)+... +(n-1)q_2)
>
> e questo si puo' semplificare usando la risposta di Giorgio Bibbiani ad
> un'altra tua domanda, direi
>
> anche qui, controllerei con un programma molto simile a quello che ho
> usato per l'altro problema

OK, grazie!! C'è più che altro qualcosa che non mi torna nell'altro problema
come ho appena scritto pubblicamente.
Grazie ancora.
P.

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