Matematica. La regina delle scienze
 

Funzione inversa

uno_tantum 19 Giu 2017 11:01
Buongiorno,
non riesco ad invertire la seguente funzione:
y = ax + cos(bx) + c
con a,b,c costanti assegnate.

Grazie in anticipo se potete darmi qualche idea o suggerimento.
Wakinian Tanka 19 Giu 2017 11:45
Il giorno lunedì 19 giugno 2017 11:01:54 UTC+2, uno_tantum ha scritto:
> Buongiorno,
> non riesco ad invertire la seguente funzione:
> y = ax + cos(bx) + c
> con a,b,c costanti assegnate.

Non puoi trovare una funzione descrivibile come combinazione finita di funzioni
elementari.
A seconda di cosa ti serve potrebbe essere sufficiente uno sviluppo in serie di
Taylor nell'intorno di un determinato punto, utilizzare il teorema della
funzione implicita.
O altri tipi di approssimazioni.
Se invece ti serve solo sapere qual'e' il grafico, basta che giri il foglio di
90° e poi lo guardi dall'altra parte in trasparenza :-)

--
Wakinian Tanka
radicale.002@gmail.com 20 Giu 2017 14:17
Il giorno lunedì 19 giugno 2017 11:45:59 UTC+2, Wakinian Tanka ha scritto:
> Il giorno lunedì 19 giugno 2017 11:01:54 UTC+2, uno_tantum ha scritto:
>> Buongiorno,
>> non riesco ad invertire la seguente funzione:
>> y = ax + cos(bx) + c
>> con a,b,c costanti assegnate.
>
> Non puoi trovare una funzione descrivibile come combinazione finita
> di funzioni elementari.

Ma direi, semplicemente, che quella funzione non ha inversa perchè
non stabilisce (in generale) una corrispondenza biunivoca tra R ed
R medesimo.

Per es y = sin x non è ovviamente invertibile anche se possiamo
scrivere x = arco il cui ******* è y. Possiamo farlo, ma a rigore
quella non è l' inversa della funzione data.

No ?
Wakinian Tanka 20 Giu 2017 17:50
Il giorno martedì 20 giugno 2017 14:17:54 UTC+2, radica...@gmail.com ha
scritto:
> Il giorno lunedì 19 giugno 2017 11:45:59 UTC+2, Wakinian Tanka ha scritto:
>> Il giorno lunedì 19 giugno 2017 11:01:54 UTC+2, uno_tantum ha scritto:
>>> Buongiorno,
>>> non riesco ad invertire la seguente funzione:
>>> y = ax + cos(bx) + c
>>> con a,b,c costanti assegnate.
>>
>> Non puoi trovare una funzione descrivibile come combinazione finita
>> di funzioni elementari.
>
> Ma direi, semplicemente, che quella funzione non ha inversa perchè
> non stabilisce (in generale) una corrispondenza biunivoca tra R ed
> R medesimo.
> Per es y = sin x non è ovviamente invertibile anche se possiamo
> scrivere x = arco il cui ******* è y. Possiamo farlo, ma a rigore
> quella non è l' inversa della funzione data.
> No ?

Hai /perfettamente/ QUASI ragione.
Oppure hai /quasi/ perfettamente ragione :-)

L'OP non ha specificato il dominio: nell'intorno di determinati valori di x,
oppure in certi intervalli (x_i, x_j), la funzione data e' invertibile.
Cio' viene di fatto utilizzato. Un esempio: le funzioni trigonometriche inverse
come Asin, Acos, Atan.

--
Wakinian Tanka
Wakinian Tanka 20 Giu 2017 18:45
Il giorno martedì 20 giugno 2017 17:50:42 UTC+2, Wakinian Tanka ha scritto:
>
> Hai /perfettamente/ QUASI ragione.
> Oppure hai /quasi/ perfettamente ragione :-)

Nel senso che quella funzione non e' invertibile /su tutto R/, ma lo e' su certi
sottoinsiemi di |R.

--
Wakinian Tanka
Elio Fabri 20 Giu 2017 21:28
uno_tantum ha scritto:
> non riesco ad invertire la seguente funzione:
> y = ax + cos(bx) + c
> con a,b,c costanti assegnate.
Mancano un bel po' d'informazioni per poterti rispondere.
Non dici niente su quale sia il dominio della funzione.
Sospetto che tu abbia in mente la retta reale R, ma bisogna dirlo.
Potresti anche decidere di limitare la definizione a un intervallo di
R, e anche questo va precisato.
Infine non dici niente sui valori di a,b,c: possono essere qualsiasi?
Potrebbe darsi che per certi valori di a,b,c la funzione sia
invertibile e per altri no.

Infine, che cosa intendi esattamente con "non riesco a invertire"?
Anche qui, sospetto che tu intenda "non trovo un'espressione finita in
termini di funzioni elementari".
Ma le f. elementari non sono le sole funzioni esistenti, e nemmeno le
sole importanti: quindi anche qui bisogna esssere più precisi.

Wakinian Tanka ha scritto:
> Nel senso che quella funzione non e' invertibile /su tutto R/, ma lo
> e' su certi sottoinsiemi di |R.
Vedi sopra.
Se |a|>|b| la f. *è* invertibile in tutto R.
Per a>|b| è monotona crescente, per a<-|b| è monotona decrescente.

A quello che ho scritto sopra aggiungo: se dicessi che la f. inversa
esiste (al più ristretta a certi intervalli) e si chiama /funzione di
Keplero/, che cosa si potrebbe obiettare?
Solo che si tratta di una funzione di cui non si parla spesso, ma in
meccanica celeste è importantissima.


--
Elio Fabri
uno_tantum 20 Giu 2017 22:42
On 20/6/2017 21:28:25 Elio Fabri wrote:
>uno_tantum ha scritto:
>> non riesco ad invertire la seguente funzione:
>> y = ax + cos(bx) + c
>> con a,b,c costanti assegnate.
>Mancano un bel po' d'informazioni per poterti rispondere.
>Non dici niente su quale sia il dominio della funzione.
>Sospetto che tu abbia in mente la retta reale R, ma bisogna dirlo.
>Potresti anche decidere di limitare la definizione a un intervallo di
>R, e anche questo va precisato.
>Infine non dici niente sui valori di a,b,c: possono essere qualsiasi?
>Potrebbe darsi che per certi valori di a,b,c la funzione sia
>invertibile e per altri no.

>Infine, che cosa intendi esattamente con "non riesco a invertire"?
>Anche qui, sospetto che tu intenda "non trovo un'espressione finita in
>termini di funzioni elementari".
>Ma le f. elementari non sono le sole funzioni esistenti, e nemmeno le
>sole importanti: quindi anche qui bisogna esssere più precisi.

>Wakinian Tanka ha scritto:
>> Nel senso che quella funzione non e' invertibile /su tutto R/, ma lo
>> e' su certi sottoinsiemi di |R.
>Vedi sopra.
>Se |a|>|b| la f. *è* invertibile in tutto R.
>Per a>|b| è monotona crescente, per a<-|b| è monotona decrescente.

>A quello che ho scritto sopra aggiungo: se dicessi che la f. inversa
>esiste (al più ristretta a certi intervalli) e si chiama /funzione di
>Keplero/, che cosa si potrebbe obiettare?
>Solo che si tratta di una funzione di cui non si parla spesso, ma in
>meccanica celeste è importantissima.

E' piu' semplice trasformata cosi':

y = ax + cos(x) + b

con a,b non nulle da scegliere a piacere, per l'intervallo della x
basta anche il piu' semplice e sempre a scelta, mi basta avere
l'inversa in termini di funzioni elementari come dici, grazie!
Wakinian Tanka 21 Giu 2017 09:55
Il giorno martedì 20 giugno 2017 21:29:56 UTC+2, Elio Fabri ha scritto:
> uno_tantum ha scritto:

>> non riesco ad invertire la seguente funzione:
>> y = ax + cos(bx) + c
>> con a,b,c costanti assegnate.

> Mancano un bel po' d'informazioni per poterti rispondere.
> Non dici niente su quale sia il dominio della funzione.
> Sospetto che tu abbia in mente la retta reale R, ma bisogna dirlo.
> Potresti anche decidere di limitare la definizione a un intervallo di
> R, e anche questo va precisato.
> Infine non dici niente sui valori di a,b,c: possono essere qualsiasi?
> Potrebbe darsi che per certi valori di a,b,c la funzione sia
> invertibile e per altri no.
> Infine, che cosa intendi esattamente con "non riesco a invertire"?
> Anche qui, sospetto che tu intenda "non trovo un'espressione finita in
> termini di funzioni elementari".
> Ma le f. elementari non sono le sole funzioni esistenti, e nemmeno le
> sole importanti: quindi anche qui bisogna esssere più precisi.
>
> Wakinian Tanka ha scritto:
>> Nel senso che quella funzione non e' invertibile /su tutto R/, ma lo
>> e' su certi sottoinsiemi di |R.

> Vedi sopra.
> Se |a|>|b| la f. *è* invertibile in tutto R.
> Per a>|b| è monotona crescente, per a<-|b| è monotona decrescente.

Vero! Si trova imponendo f'(x)>=0 per ogni x di |R oppure f'(x)<=0 per ogni x di
|R.


> A quello che ho scritto sopra aggiungo: se dicessi che la f. inversa
> esiste (al più ristretta a certi intervalli) e si chiama /funzione di
> Keplero/, che cosa si potrebbe obiettare?
> Solo che si tratta di una funzione di cui non si parla spesso, ma in
> meccanica celeste è importantissima.

Bentornato!

--
Wakinian Tanka
Bruno Campanini 21 Giu 2017 11:02
on 20-06-17, uno_tantum supposed :

> E' piu' semplice trasformata cosi':
>
> y = ax + cos(x) + b
>
> con a,b non nulle da scegliere a piacere, per l'intervallo della x
> basta anche il piu' semplice e sempre a scelta, mi basta avere
> l'inversa in termini di funzioni elementari come dici, grazie!

Puoi anche trasformarla nella sua espressione più semplice:
y = x + cos(x)

La triste verità è che un'espressione x = f(y) non è ottenibile
*****iticamente.

Puoi procedere, fuori dal continuo, per altra via.
Determini per esempio 10 valori di y corrispondenti a 10 valori
di x, quindi costruisci una funzione che per ogni valore di x ti
dia il corrispondente valore di y, accontentandoti eventualmente
anche di valori interpolati.
Però la via più semplice sarebbe usare un foglio elettronico...

Bruno
uno_tantum 21 Giu 2017 12:08
On 21/6/2017 11:02:56 Bruno Campanini wrote:
>on 20-06-17, uno_tantum supposed :

>> E' piu' semplice trasformata cosi':
>>
>> y = ax + cos(x) + b
>>
>> con a,b non nulle da scegliere a piacere, per l'intervallo della x
>> basta anche il piu' semplice e sempre a scelta, mi basta avere
>> l'inversa in termini di funzioni elementari come dici, grazie!

>Puoi anche trasformarla nella sua espressione più semplice:
> y = x + cos(x)

>La triste verità è che un'espressione x = f(y) non è ottenibile
>*****iticamente.

Come fai a dirlo e a saperlo con sicurezza? hai letto le altre
risposte? cosa vuol dire "ottenibile *****iticamente"?


>Puoi procedere, fuori dal continuo, per altra via.
>Determini per esempio 10 valori di y corrispondenti a 10 valori
>di x, quindi costruisci una funzione che per ogni valore di x ti
>dia il corrispondente valore di y, accontentandoti eventualmente
>anche di valori interpolati.
>Però la via più semplice sarebbe usare un foglio elettronico...

>Bruno
Bruno Campanini 21 Giu 2017 12:34
uno_tantum formulated the question :
> On 21/6/2017 11:02:56 Bruno Campanini wrote:
>> on 20-06-17, uno_tantum supposed :
>
>>> E' piu' semplice trasformata cosi':
>>>
>>> y = ax + cos(x) + b
>>>
>>> con a,b non nulle da scegliere a piacere, per l'intervallo della x
>>> basta anche il piu' semplice e sempre a scelta, mi basta avere
>>> l'inversa in termini di funzioni elementari come dici, grazie!
>
>> Puoi anche trasformarla nella sua espressione più semplice:
>> y = x + cos(x)
>
>> La triste verità è che un'espressione x = f(y) non è ottenibile
>> *****iticamente.
>
> Come fai a dirlo e a saperlo con sicurezza? hai letto le altre
> risposte?
Attendi pure che qualcuno ti dia la risposta che cerchi...
attenderai per un bel pezzo!

> cosa vuol dire "ottenibile *****iticamente"?
Vuol dire ottenere x = f(y) da y = f(x) con una serie
di passaggi algebrici... ma è una domanda da fare?

Bruno
Wakinian Tanka 21 Giu 2017 15:35
Il giorno mercoledì 21 giugno 2017 12:34:41 UTC+2, Bruno Campanini ha scritto:
> uno_tantum formulated the question :
>> On 21/6/2017 11:02:56 Bruno Campanini wrote:

>>> Puoi anche trasformarla nella sua espressione più semplice:
>>> y = x + cos(x)
>>> La triste verità è che un'espressione x = f(y) non è ottenibile
>>> *****iticamente.
>>
>> Come fai a dirlo e a saperlo con sicurezza? hai letto le altre
>> risposte?

> Attendi pure che qualcuno ti dia la risposta che cerchi...
> attenderai per un bel pezzo!
>
>> cosa vuol dire "ottenibile *****iticamente"?

> Vuol dire ottenere x = f(y) da y = f(x) con una serie
> di passaggi algebrici... ma è una domanda da fare?

Domanda non retorica: Se scrivo

f(y) = a_0 + a_1*y + a_2*y^2 + ...

consideri la f(y) ottenuta *****iticamente oppure no?
Se non la consideri tale, come consideri questa definizione di funzione
esponenziale:

exp(x) = 1 + x + x^2/2! + ... ?

--
Wakinian Tanka
Bruno Campanini 21 Giu 2017 17:35
Wakinian Tanka brought next idea :

> Domanda non retorica: Se scrivo
>
> f(y) = a_0 + a_1*y + a_2*y^2 + ...
>
> consideri la f(y) ottenuta *****iticamente oppure no?
> Se non la consideri tale, come consideri questa definizione di funzione
> esponenziale:
>
> exp(x) = 1 + x + x^2/2! + ... ?
Bisogna che tu mi scriva per intero i secondi membri di ambedue
le espressioni, altrimenti non so risponderti.

Hai dato il bentornato al tamburo principale della Banda d'Affori.
Ti sei guadagnato un posto in cielo... ti sentirai pure appagato!

Bruno
Wakinian Tanka 21 Giu 2017 17:53
Il giorno mercoledì 21 giugno 2017 17:35:22 UTC+2, Bruno Campanini ha scritto:
> Wakinian Tanka brought next idea :
>
>> Domanda non retorica: Se scrivo
>> f(y) = a_0 + a_1*y + a_2*y^2 + ...
>> consideri la f(y) ottenuta *****iticamente oppure no?
>> Se non la consideri tale, come consideri questa definizione di funzione
>> esponenziale:
>> exp(x) = 1 + x + x^2/2! + ... ?

> Bisogna che tu mi scriva per intero i secondi membri di ambedue
> le espressioni, altrimenti non so risponderti.

Scusa Bruno se te lo chiedo ma non sono riuscito ad inquadrare bene le tue
competenze matematiche; ti chiederai che me ne importa, ma serve a me per
rispondere in modo appropriato (chiaramente e' un mio limite).

La prima espressione e' lo sviluppo di una funzione generica in serie di potenze
("generica" ovviamente all'interno della classe delle f. che /sono sviluppabili
in serie di pot./):

f(x) = Sum[n>=0] a_n*x^n

la seconda e' /un particolare/ sviluppo di una f. in serie di pot.: quello
della f. esponenziale (che la si puo' anche definire proprio tramite tale
sviluppo):

exp(x) = Sum[n>=0] x^n/n!

> Hai dato il bentornato al tamburo principale della Banda d'Affori.

Eh, non so cosa significhi questo termine.

> Ti sei guadagnato un posto in cielo... ti sentirai pure appagato!

I posti in cielo si guadagnano facendo del bene a tutti e non facendo del male a
nessuno quindi penso di essere escluso dalla categoria :-)
Ho salutato chi ritengo meriti di esserlo in base a criteri miei personali, come
del resto facciamo tutti...

--
Wakinian Tanka
Bruno Campanini 21 Giu 2017 19:41
Wakinian Tanka explained on 21-06-17 :

> Scusa Bruno se te lo chiedo ma non sono riuscito ad inquadrare bene le tue
> competenze matematiche; ti chiederai che me ne importa, ma serve a me per
> rispondere in modo appropriato (chiaramente e' un mio limite).
>
> La prima espressione e' lo sviluppo di una funzione generica in serie di
> potenze ("generica" ovviamente all'interno della classe delle f. che /sono
> sviluppabili in serie di pot./):
>
> f(x) = Sum[n>=0] a_n*x^n
>
> la seconda e' /un particolare/ sviluppo di una f. in serie di pot.: quello
> della f. esponenziale (che la si puo' anche definire proprio tramite tale
> sviluppo):
>
> exp(x) = Sum[n>=0] x^n/n!

Dai non far della melina!
Io non sono un matematico, ne segue che tutta
la filosofia e l'aulico linguaggio della matematica
mi sono completamente estranei.
Se faccio qualche intervento... beh ciò avviene per lo più
utilizzando il buon senso comune, categoria estranea
alla matematica.

>> Hai dato il bentornato al tamburo principale della Banda d'Affori.
>
> Eh, non so cosa significhi questo termine.
Dovevo immaginarlo... è una strofa da una vecchia canzone.

>> Ti sei guadagnato un posto in cielo... ti sentirai pure appagato!
>
> I posti in cielo si guadagnano facendo del bene a tutti e non facendo del
> male a nessuno quindi penso di essere escluso dalla categoria :-)
Mi avvalgo della facoltà di non rispondere
perché la risposta potrebbe incriminarmi.

> Ho salutato
> chi ritengo meriti di esserlo in base a criteri miei personali, come del
> resto facciamo tutti...
Avessi detto a me "bentornato" avrei *****escamente risposto:
"grazie del complimento, anche per me è un piacere risentirti",
ma quello non ti ha neppure, come s'usa dir fra i nostri giovani,
cagato.

Bruno
Wakinian Tanka 22 Giu 2017 00:34
Il giorno mercoledì 21 giugno 2017 19:41:33 UTC+2, Bruno Campanini ha scritto:
> Wakinian Tanka explained on 21-06-17 :
>
>> Scusa Bruno se te lo chiedo ma non sono riuscito ad inquadrare bene le tue
>> competenze matematiche; ti chiederai che me ne importa, ma serve a me per
>> rispondere in modo appropriato (chiaramente e' un mio limite).
>> La prima espressione e' lo sviluppo di una funzione generica in serie di
>> potenze ("generica" ovviamente all'interno della classe delle f. che /sono
>> sviluppabili in serie di pot./):
>> f(x) = Sum[n>=0] a_n*x^n
>> la seconda e' /un particolare/ sviluppo di una f. in serie di pot.: quello
>> della f. esponenziale (che la si puo' anche definire proprio tramite tale
>> sviluppo):
>> exp(x) = Sum[n>=0] x^n/n!
>
> Dai non far della melina!

Per nulla! Gia' la prima risposta e' piu' che sufficiente per chiunque abbia
studiato gli sviluppi in serie (*****isi 1). Se a te tale conoscenza manca e' un
problema tuo, non mio.
Meglio che in quel modo del resto non saprei proprio come dirlo.

> Io non sono un matematico,

Nemmeno io ma ho studiato *****isi 1 e 2 (vecchio ordinamento, adesso le hanno
ridenominate *****isi 1, *****isi 2 e *****isi 3) e un po' di Metodi Matematici
per la Fisica (*****isi complessa, spazi funzionali, trasformata di Fourier e
Laplace, Distribuzioni).

> ne segue che tutta
> la filosofia e l'aulico linguaggio della matematica
> mi sono completamente estranei.

Se tu ne sai l'uno per mille io ne so l'uno virgola cinque per mille,
tranquillo... La matematica e' una scienza cosi' estesa e sviluppata che siamo
entrambi dei profani...

> Se faccio qualche intervento... beh ciò avviene per lo più
> utilizzando il buon senso comune, categoria estranea
> alla matematica.

Perche' /non e'/ matematica... e non lo deve proprio essere.

>> I posti in cielo si guadagnano facendo del bene a tutti e non facendo del
>> male a nessuno quindi penso di essere escluso dalla categoria :-)

> Mi avvalgo della facoltà di non rispondere
> perché la risposta potrebbe incriminarmi.

Ma allora sei proprio cattivello! T'ha morso di recente una Tarantola?

>> Ho salutato
>> chi ritengo meriti di esserlo in base a criteri miei personali, come del
>> resto facciamo tutti...

> Avessi detto a me "bentornato" avrei *****escamente risposto:
> "grazie del complimento, anche per me è un piacere risentirti",
> ma quello non ti ha neppure, come s'usa dir fra i nostri giovani,
> cagato.

Se dico (o meglio "scrivo") a qualcuno (te compreso) "Bentornato" non lo faccio
con l'idea di una risposta.
Comunque penso che a te non stia simpatico perche' non lo conosci abbastanza e
perche' sei eccessivamente suscettibile.

--
Wakinian Tanka

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