Matematica. La regina delle scienze
 

Equazione differenziale del primo ordine

Effe 28 Giu 2017 12:31
Prima premessa OT: tempo fa ho scritto su f.i.s.fisica e su
i.s.fisica per alcuni dubbi sulla relatività. Mi sono accorto solo ora
che alcune mie risposte non compaiono nella discussione e non so perché,
volevo però scusarmi con chi vi aveva partecipato per essere sparito
senza dire nulla, ma la maturità mi sta prendendo tutto il tempo.

Seconda premessa: mi è venuto un messaggio un po' lungo :)

Sto ripassando un po' in attesa dell'orale e mi sono inventato questa
eq. diff. a variabili separabili.

y' = sqrt(y)

Dove con y = f(x) indico una generica funzione reale a valori reali.

Io scrivo tutto quello che mi è venuto in mente, se qualcuno volesse
aggiungere qualcosa o correggermi sarebbe fantastico.

Sto cercando una famiglia di funzioni (che indico con y) non negative,
altrimenti l'eq. diff. non avrebbe significato, definite, continue e
derivabili in un certo intervallo I. Inoltre, dato che a destra ho una
quantità non negativa, allora sto cercando funzioni non decrescenti.

Comincio cercando delle soluzioni costanti y = k, con k >= 0. Per
sostituzione si ha k = 0, quindi f(x) = 0 definita in tutto R è una
soluzione dell'eq. diff. Ora cerco soluzioni y > 0 e in questo caso
posso dividere per sqrt(y)

y'/sqrt(y) = 1

integro rispetto a x entrambi i membri

int y'(x)/sqrt(y(x)) dx = int 1 dx

con la sostituzione y(x) = u ho

int 1/sqrt(u) du = int 1 dx

e quindi

2 sqrt(u) = x + c

tornando a y(x)

2 sqrt(y(x)) = x + c

Ora, dato che y(x) > 0 allora la parte a sinistra è positiva, quindi lo
deve essere anche la parte a destra e dunque l'ultima relazione è valida
solo per x > -c.

Detto ciò, posso ricavare la y(x), elevando al quadrato (anche la
costante c andrebbe divisa per due, ma tanto è una costante arbitraria e
continuo a chiamarla c):

y(x) = (x/2 + c)^2 con x > -c

Quindi le soluzioni dell'equazione differenziale sono:

f(x) = (x/2 + c)^2 con x > -c oppure f(x) = 0 con x in R

Ammesso che sia tutto giusto, se avessi il seguente problema di Cauchy:

| y' = sqrt(y)
| y(0) = 0

allora la soluzione sarebbe f(x) = 0, perché se provassi con l'altra
avrei c = 0 e quindi:

f(x) = 1/4 x^2 con x > 0

che non è definita in x = 0 e quindi non può soddisfare la condizione
iniziale y(0) = 0.

Però, pensandoci un po', anche la funzione

| 0 per x <= 0
f(x) = |
| 1/4 x^2 per x > 0

è una soluzione del problema di Cauchy perché

| 0 = sqrt(f(x)) per x <= 0
f'(x) = |
|1/2 x = sqrt(f(x)) per x > 0

e f(0) = 0. Questo vuol dire che, sempre che non abbia scritto
delle cavolate, quel problema di Cauchy ammette due soluzioni.

Anzi! Le soluzioni sono infinite, perché oltre a quelle indicate sopra
avrei anche le funzioni

| 0 per a < x <= 0
f(x) = |
| 1/4 x^2 per x > 0

con a < 0 e per ogni valore di a la funzione è diversa perché diverso è
il suo dominio.

E' giusto?

Ecco allora la domanda più importante: posso stabilire a priori se un
problema di Cauchy ha una sola soluzione oppure di più? Nel mio libro
non ho trovato traccia di questo argomento, ma cercando in rete invece
ho trovato un sacco di roba e ho scoperto che esistono proprio dei
teoremi di esistenza e unicità. L'esistenza della soluzione del mio
problema di Cauchy è garantita perché basta che la g(x, y) a secondo
membro sia continua e g(x, y) = sqrt(y) è continua dove definita, ma
l'unicità no, perché la derivata di g rispetto alla y deve essere
continua in un intorno di x0 = 0, ma la derivata rispetto a y di sqrt(y)
è 1/(2 sqrt(y)) che non è proprio definita in y = 0 e quindi non ha
neppure senso chiedersi se è continua.

E' per questo che la soluzione del mio problema di Cauchy non è unica?

Grazie mille.
Wakinian Tanka 28 Giu 2017 15:36
Il giorno mercoledì 28 giugno 2017 10:31:41 UTC, Effe ha scritto:
...
> Sto ripassando un po' in attesa dell'orale e mi sono inventato questa
> eq. diff. a variabili separabili.
> y' = sqrt(y)
> Dove con y = f(x) indico una generica funzione reale a valori reali.
> Io scrivo tutto quello che mi è venuto in mente, se qualcuno volesse
> aggiungere qualcosa o correggermi sarebbe fantastico.
>
> Sto cercando una famiglia di funzioni (che indico con y) non negative,
> altrimenti l'eq. diff. non avrebbe significato, definite, continue e
> derivabili in un certo intervallo I. Inoltre, dato che a destra ho una
> quantità non negativa, allora sto cercando funzioni non decrescenti.
> Comincio cercando delle soluzioni costanti y = k, con k >= 0. Per
> sostituzione si ha k = 0, quindi f(x) = 0 definita in tutto R è una
> soluzione dell'eq. diff.

Ok.

> Ora cerco soluzioni y > 0 e in questo caso
> posso dividere per sqrt(y)
> y'/sqrt(y) = 1
> integro rispetto a x entrambi i membri
> int y'(x)/sqrt(y(x)) dx = int 1 dx
> con la sostituzione y(x) = u ho
> int 1/sqrt(u) du = int 1 dx
> e quindi
> 2 sqrt(u) = x + c
> tornando a y(x)
> 2 sqrt(y(x)) = x + c
> Ora, dato che y(x) > 0 allora la parte a sinistra è positiva, quindi lo
> deve essere anche la parte a destra e dunque l'ultima relazione è valida
> solo per x > -c.

Ok.

> Detto ciò, posso ricavare la y(x), elevando al quadrato (anche la
> costante c andrebbe divisa per due, ma tanto è una costante arbitraria e
> continuo a chiamarla c):
> y(x) = (x/2 + c)^2 con x > -c
> Quindi le soluzioni dell'equazione differenziale sono:
> f(x) = (x/2 + c)^2 con x > -c oppure f(x) = 0 con x in R

Si, io comunque per non far confusione chiamerei le due soluzioni in modo
diverso, ad esempio y1(x) e y2(x) o f(x) e h(x), ecc.

> Ammesso che sia tutto giusto, se avessi il seguente problema di Cauchy:
> | y' = sqrt(y)
> | y(0) = 0
> allora la soluzione sarebbe f(x) = 0, perché se provassi con l'altra
> avrei c = 0 e quindi:
> f(x) = 1/4 x^2 con x > 0
> che non è definita in x = 0 e quindi non può soddisfare la condizione
> iniziale y(0) = 0.

Non c'e' bisogno: tu hai /gia' escluso/ la soluzione y(x) = 0 nel momento stesso
in cui hai cercato una soluzione y > 0, infatti e' proprio per questo motivo che
poi devi scrivere x > c e quindi, ora, x > 0.
Quindi questa soluzione, chiamiamola y2(x), non puo' essere mai = 0 per
definizione.

> Però, pensandoci un po', anche la funzione
>
> | 0 per x <= 0
> f(x) = |
> | 1/4 x^2 per x > 0
>
> è una soluzione del problema di Cauchy perché
>
> | 0 = sqrt(f(x)) per x <= 0
> f'(x) = |
> |1/2 x = sqrt(f(x)) per x > 0
>
> e f(0) = 0. Questo vuol dire che, sempre che non abbia scritto
> delle cavolate, quel problema di Cauchy ammette due soluzioni.

Se il dominio lo vuoi su tutto R, si.

> Anzi! Le soluzioni sono infinite, perché oltre a quelle indicate sopra
> avrei anche le funzioni
>
> | 0 per a < x <= 0
> f(x) = |
> | 1/4 x^2 per x > 0
>
> con a < 0 e per ogni valore di a la funzione è diversa perché diverso è
> il suo dominio.

Se cambi il dominio, qualsiasi legge matematica fissata diventa un'infinita' di
funzioni diverse! Fissata ad esempio la legge y = x, con dominio a scelta,
quante funzioni ho?

> E' giusto?

95%

> Ecco allora la domanda più importante: posso stabilire a priori se un
> problema di Cauchy ha una sola soluzione oppure di più? Nel mio libro
> non ho trovato traccia di questo argomento, ma cercando in rete invece
> ho trovato un sacco di roba e ho scoperto che esistono proprio dei
> teoremi di esistenza e unicità. L'esistenza della soluzione del mio
> problema di Cauchy è garantita perché basta che la g(x, y) a secondo
> membro sia continua e g(x, y) = sqrt(y) è continua dove definita, ma
> l'unicità no, perché la derivata di g rispetto alla y deve essere
> continua in un intorno di x0 = 0, ma la derivata rispetto a y di sqrt(y)
> è 1/(2 sqrt(y)) che non è proprio definita in y = 0 e quindi non ha
> neppure senso chiedersi se è continua.
> E' per questo che la soluzione del mio problema di Cauchy non è unica?

Quasi. Quello che devi cercare e' che quella derivata rispetto ad y sia
/limitata/.
Meglio ancora (condizione meno restrittiva e quindi si amplia la classe delle
soluzioni) e' che, data y' = F(x,y), la F(x,y) sia /lipschitziana in y/.

F(x,y) = sqrt(y) e' non lischitziana in y e cio' non garantisce l'unicita' della
soluzione (infatti non e' unica). Ma il fatto che non ti garantisca l'unicita'
ovviamente non ti garantisce nemmeno che hai piu' di una soluzione,
semplicemente non puoi saperlo prima di risolvere l'equazione.

https://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_lipschitziana

https://groups.google.com/forum/#!searchin/it.scienza.matematica/lipschitziana|sort:date/it.scienza.matematica/IOYtFds39sI/1R9yPt359r4J

--
Wakinian Tanka
Giorgio Pastore 28 Giu 2017 15:51
Il 28/06/17 12:31, Effe ha scritto:
>.... Questo vuol dire che, sempre che non abbia scritto
> delle cavolate, quel problema di Cauchy ammette due soluzioni.
>
> Anzi! Le soluzioni sono infinite, perché oltre a quelle indicate sopra
> avrei anche le funzioni
>
> | 0 per a < x <= 0
> f(x) = |
> | 1/4 x^2 per x > 0
>
> con a < 0 e per ogni valore di a la funzione è diversa perché diverso è
> il suo dominio.
>
> E' giusto?

che la soluzione non sia unica si'. Che ci siano infinite soluzioni come
quelle che prospetti tu, no, se stai facendo riferimento al problema di
Cauchy in x=0.
>
> Ecco allora la domanda più importante: posso stabilire a priori se un
> problema di Cauchy ha una sola soluzione oppure di più?

Certo. Esistono criteri.

> Nel mio libro
> non ho trovato traccia di questo argomento,

Libro di liceo ? mi meraviglierei del contrario. E quando ci sarebbe il
tempo per affrontare anche questo ? Gia' le Indicazioni Nazionali sono
eccessivamente estese...

> ma cercando in rete invece
> ho trovato un sacco di roba e ho scoperto che esistono proprio dei
> teoremi di esistenza e unicità.

Appunto.

> L'esistenza della soluzione del mio
> problema di Cauchy è garantita perché basta che la g(x, y) a secondo
> membro sia continua e g(x, y) = sqrt(y) è continua dove definita, ma
> l'unicità no, perché la derivata di g rispetto alla y deve essere
> continua in un intorno di x0 = 0, ma la derivata rispetto a y di sqrt(y)
> è 1/(2 sqrt(y)) che non è proprio definita in y = 0 e quindi non ha
> neppure senso chiedersi se è continua.
>
> E' per questo che la soluzione del mio problema di Cauchy non è unica?

Quella sulla esistenza e continuita della derivata prima non e' l' unico
criterio. Ma eviterei di fare indigestione di nozioni non digeribili in
un tempo breve proprio prima di un orale :-)


Giorgio
Elio Fabri 29 Giu 2017 12:23
Effe ha scritto:
> Sto ripassando un po' in attesa dell'orale e mi sono inventato
> questa eq. diff. a variabili separabili.
> ...
> Io scrivo tutto quello che mi è venuto in mente, se qualcuno
> volesse aggiungere qualcosa o correggermi sarebbe fantastico.
> ...
> Anzi! Le soluzioni sono infinite, perché oltre a quelle indicate
> sopra avrei anche le funzioni
>
> | 0 per a < x <= 0
> f(x) = |
> | 1/4 x^2 per x > 0
>
> con a < 0 e per ogni valore di a la funzione è diversa perché
> diverso è il suo dominio.
>
> E' giusto?
Aggiungo qualche commento, complemento, suggerimento, diversi da
quelli che hai già avuto.

Per cominciare: è giusto a stretto rigore che la funzione è diversa
perché diverso è il suo dominio.
Però capita spesso che ci siano buone ragioni per prendere un
atteggiamento diverso.
Te lo descrivo in generale.

Siano f, g due funzioni, con domini D, D'.
Supponiamo anche:
- D è parte propria di D'
- per ogni x in D, f(x) = g(x).

Allora, se è corretto dire che f e g sono funzioni diverse, si dice
normalmente che g è una /estensione/ di f.
E' ovvio che fissati D, f, D', le estensioni g sono infinite, dato che
puoi scegliere a piacere i valori di g(x) quando x non è in D.
Tuttavia molte volte ci sono delle scelte "naturali" di un'estensione:
per linearità, per continuità...

Secondo commento: hai notato che l'insieme delle soluzioni della tua
equazione (l'integrale generale) ha la forma y = (x+c)^2 / 4.
Questo lo potevi capire a occhio dall'equazione: dipende dal fatto che
in essa non compare x, ma solo y e y'.
Quando ciò accade, qualunque sia la forma esatta dell'equazione, è
sempre vero che se y = f(x) è una soluzione, lo è anche y = f(x+c),
con c qualsiasi (la questione dei domini la lascio da parte).
Si dice che l'eq. è /invariante per traslazioni in x/. La cosa è di
grandissima importanza per la fisica.

Terzo commento (o meglio, complemento).
E' utile studiare graficamente le soluzioni.
Disegna nel piano (x,y) le curve y=f(x) che sono soluzioni:
- che curve sono?
- come differiscono una dall'altra?
- ci sono punti del piano in cui passa una e una sola curva?
- altri dove ne passa più d'una (anche infinite)?
- altri dove non ne passa nessuna?

Quarto (suggerimento).
Studia questa equazione: y' = x/y.
In particolare:
- dimostra che se y=f(x) è una soluzione, lo è anche y = k*f(x/k)
- studia i grafici, e dai un'interpr. geometrica della proprietà che
precede
- prova a generalizzare in qualche modo l'equazione.

Buon divertimento :-)


--
Elio Fabri
Effe 29 Giu 2017 22:00
Il 28/06/2017 15:36, Wakinian Tanka ha scritto:

> Non c'e' bisogno: tu hai /gia' escluso/ la soluzione y(x) = 0 nel
> momento stesso in cui hai cercato una soluzione y > 0, infatti e'
> proprio per questo motivo che poi devi scrivere x > c e quindi, ora,
> x > 0. Quindi questa soluzione, chiamiamola y2(x), non puo' essere
> mai = 0 per definizione.

Sì, giusto.

> Se cambi il dominio, qualsiasi legge matematica fissata diventa
> un'infinita' di funzioni diverse! Fissata ad esempio la legge y = x,
> con dominio a scelta, quante funzioni ho?

Sì, è vero. Però per definire una funzione occorre fissare anche il suo
dominio. Le funzioni f(x) = x con x in R e g(x) = x con x in (0, +oo)
sono comunque due funzioni diverse. Però ho letto la risposta di
Elio Fabri e su questo punto direi che ci siamo :)

> Quasi. Quello che devi cercare e' che quella derivata rispetto ad y
> sia /limitata/. Meglio ancora (condizione meno restrittiva e quindi
> si amplia la classe delle soluzioni) e' che, data y' = F(x,y), la
> F(x,y) sia /lipschitziana in y/.

Sì, ho visto questa nuova proprietà delle funzioni proprio
cercando di informarmi sull'esistenza e unicità. A grandi linee credo di
aver capito cosa significhi, solo che come ha anche detto Giorgio
Pastore non è il caso che a una settimana dall'orale mi metta a studiare
queste cose. Semmai dopo :)

> https://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_lipschitziana
>
>
https://groups.google.com/forum/#!searchin/it.scienza.matematica/lipschitziana|sort:date/it.scienza.matematica/IOYtFds39sI/1R9yPt359r4J

Grazie.
Li metto da parte e poi con calma li leggo.
Effe 29 Giu 2017 22:01
Il 28/06/2017 15:51, Giorgio Pastore ha scritto:

> che la soluzione non sia unica si'. Che ci siano infinite soluzioni come
> quelle che prospetti tu, no, se stai facendo riferimento al problema di
> Cauchy in x=0.

Sì sì, io mi sto riferendo al problema di Cauchy in x = 0.

> Libro di liceo ?

Sì, il mio libro di testo. Vabbè, ma almeno scrivere che a priori si
potrebbe... ma che ciò va oltre... Insomma, almeno per non far pensare
che tutti i problemi di Cauchy abbiano una sola soluzione. Prima di
ieri, a una domanda del genere non so cosa avrei risposto. Adesso lo so
e nel caso saprei anche fare un esempio :)

> Quella sulla esistenza e continuita della derivata prima non e' l' unico
> criterio. Ma eviterei di fare indigestione di nozioni non digeribili in
> un tempo breve proprio prima di un orale :-)

Sì, infatti. Ho visto che si parla di Lipschitzianità, per esempio, ma
non è il caso di andare oltre. Mi basta sapere che la soluzione di un
P.C. può non essere unica.
Effe 29 Giu 2017 22:05
Il 29/06/2017 12:23, Elio Fabri ha scritto:

> Per cominciare: è giusto a stretto rigore che la funzione è diversa
> perché diverso è il suo dominio. Però capita spesso che ci siano
> buone ragioni per prendere un atteggiamento diverso. Te lo descrivo
> in generale.
>
> Siano f, g due funzioni, con domini D, D'. Supponiamo anche: - D è
> parte propria di D' - per ogni x in D, f(x) = g(x).
>
> Allora, se è corretto dire che f e g sono funzioni diverse, si dice
> normalmente che g è una /estensione/ di f.

Sarebbe lo stesso dire che g è un prolungamento di f? Perché questo
termine l'ho usato per prolungare una funzione per continuità, per esempio:

f(x) = sin(x)/x per x =/= 0

| f(x) per x =/= 0
g(x) = |
| 1 per x = 0

In questo modo g è definita e continua in R.

> E' ovvio che fissati D, f, D', le estensioni g sono infinite, dato
> che puoi scegliere a piacere i valori di g(x) quando x non è in D.
> Tuttavia molte volte ci sono delle scelte "naturali" di
> un'estensione: per linearità, per continuità...

Appunto :) Allora diciamo che posso estendere una funzione in tanti modi
e posso scegliere quello che in quel particolare contesto mi "conviene"
di più in base a quello che mi serve.

> Secondo commento: hai notato che l'insieme delle soluzioni della tua
> equazione (l'integrale generale) ha la forma y = (x+c)^2 / 4.
> Questo lo potevi capire a occhio dall'equazione: dipende dal fatto
> che in essa non compare x, ma solo y e y'. Quando ciò accade,
> qualunque sia la forma esatta dell'equazione, è sempre vero che se y
> = f(x) è una soluzione, lo è anche y = f(x+c), con c qualsiasi (la
> questione dei domini la lascio da parte).

Grazie! Questa cosa non la sapevo.

Sia y' = g(y) e sia f(x) una sua soluzione, allora significa che f'(x) =
g[f(x)] è soddisfatta. Prendo la funzione f(x+c) e la sostituisco
nell'eq. diff.

(f(x+c))' = g[f(x+c)]

ma

(f(x+c))' = f'(x+c)

quindi

f'(x+c) = g[f(x+c)]

posto x+c = t si ha

f'(t) = g[f(t)]

che è soddisfatta per quello che ho scritto prima, quindi f(x+c)
soddisfa l'eq. diff e dunque è anch'essa una soluzione. E' giusto?

Tra l'altro, nella mia eq. diff. avevo ragionato anche in questo modo:

L'eq. diff. y' = sqrt(y) mi dice di cercare le funzioni non negative la
cui derivata è uguale alla radice quadrata della funzione stessa. La
derivata di x^2 è 2x e almeno per x >= 0 e a parte il fattore 2 è la
radice quadrata di x^2. Allora avevo pensato che le soluzioni potessero
essere del tipo y = f(x)^2, con f(x) >= 0, quindi sostituendo nell'eq.
diff. ho

2f(x)f'(x) = f(x) da cui
f(x) = 0 oppure, posto f(x) =/= 0, f'(x) = 1/2.

Dalla prima si ha la soluzione y1 = 0, dalla seconda si ha

f(x) = 1/2 x + c con x > -2c e quindi

y2 = (1/2 x + c)^2 con x > -2c

e torna! Ma è giusto quello che ho scritto?

> Si dice che l'eq. è /invariante per traslazioni in x/. La cosa è di
> grandissima importanza per la fisica.

Ho pensato un po' perché. Se l'eq. diff. derivasse dalla modellizzazione
di un fenomeno fisico e la variabile indipendente fosse il tempo, allora
se in essa non comparisse t, saprei già a priori che essa sarebbe
invariante per traslazioni temporali, cioè, "la forma" della soluzione
non dipenderebbe dal tempo, il fenomeno fisico descritto da y(t)
evolverebbe nel tempo sempre allo stesso modo, non importa l'istante
d'inizio. Mah, non so se quello che ho scritto abbia un senso, mi sa di
no, però non lo cancello.

> Terzo commento (o meglio, complemento). E' utile studiare
> graficamente le soluzioni. Disegna nel piano (x,y) le curve y=f(x)
> che sono soluzioni: - che curve sono?

Sono o archi di parabola con la concavità rivolta verso l'alto, con il
vertice nel punto (-2c, 0) definiti per x > -2c oppure la retta y = 0.

> - come differiscono una dall'altra?

A parte y = 0, sono archi di parabola traslati lungo l'asse x. In questo
senso l'eq. è invariante per traslazione in x?

> - ci sono punti del piano in cui passa una e una sola curva?

Direi di sì, tutti quelli con ordinata positiva.

> - altri dove ne passa più d'una (anche infinite)?

Ecco, qui dovrei estendere le funzioni f e allora sono i punti sull'asse x.

> - altri dove non ne passa nessuna?

Sì, tutti quelli con ordinata negativa, infatti la soluzione deve essere
non negativa.

> Quarto (suggerimento). Studia questa equazione: y' = x/y.
> In particolare:
> - dimostra che se y=f(x) è una soluzione, lo è anche y = k*f(x/k)
> - studia i grafici, e dai un'interpr. geometrica della proprietà che
> precede
> - prova a generalizzare in qualche modo l'equazione.

Ci provo.

> Buon divertimento :-)

Grazie!
Wakinian Tanka 29 Giu 2017 23:30
Il giorno giovedì 29 giugno 2017 22:00:24 UTC+2, Effe ha scritto:
> Il 28/06/2017 15:36, Wakinian Tanka ha scritto:
>
>> Non c'e' bisogno: tu hai /gia' escluso/ la soluzione y(x) = 0 nel
>> momento stesso in cui hai cercato una soluzione y > 0, infatti e'
>> proprio per questo motivo che poi devi scrivere x > c e quindi, ora,
>> x > 0. Quindi questa soluzione, chiamiamola y2(x), non puo' essere
>> mai = 0 per definizione.
>
> Sì, giusto.
>
>> Se cambi il dominio, qualsiasi legge matematica fissata diventa
>> un'infinita' di funzioni diverse! Fissata ad esempio la legge y = x,
>> con dominio a scelta, quante funzioni ho?
>
> Sì, è vero. Però per definire una funzione occorre fissare anche il suo
> dominio. Le funzioni f(x) = x con x in R e g(x) = x con x in (0, +oo)
> sono comunque due funzioni diverse.

Infatti e' quello che ho scritto :-)

> Però ho letto la risposta di
> Elio Fabri e su questo punto direi che ci siamo :)
>
>> Quasi. Quello che devi cercare e' che quella derivata rispetto ad y
>> sia /limitata/. Meglio ancora (condizione meno restrittiva e quindi
>> si amplia la classe delle soluzioni) e' che, data y' = F(x,y), la
>> F(x,y) sia /lipschitziana in y/.
>
> Sì, ho visto questa nuova proprietà delle funzioni proprio
> cercando di informarmi sull'esistenza e unicità. A grandi linee credo di
> aver capito cosa significhi, solo che come ha anche detto Giorgio
> Pastore non è il caso che a una settimana dall'orale mi metta a studiare
> queste cose. Semmai dopo :)

Bene. Allora, per "dopo" (e spero che tu faccia matematica o fisica
all'universita', mi sembri particolarmente sveglio per essere uno studente di
liceo :-) ) lipschitziana significa, intuitivamente"a variazione limitata" in
quanto per ogni coppia di valori della x, x1 e x2, il rapporto incrementale
rimane minore di una fissata quantita' positiva L:


|f(x2) - f(x1)|/|x2- x1| < L, per ogni x1, x2 appart. D(f).

--
Wakinian Tanka
Wakinian Tanka 29 Giu 2017 23:56
Il giorno giovedì 29 giugno 2017 22:05:51 UTC+2, Effe ha scritto:
>
> Sia y' = g(y) e sia f(x) una sua soluzione, allora significa che f'(x) =
> g[f(x)] è soddisfatta. Prendo la funzione f(x+c) e la sostituisco
> nell'eq. diff.
> (f(x+c))' = g[f(x+c)]
> ma
> (f(x+c))' = f'(x+c)

Mi sembra tutto giusto, anche quello che scrivi dopo, quindi ti darei ottimo.
Solo una piccola precisazione: poiche' qui la variabile rispetto alle quale
derivi non e' scontato che sia x (infatti derivi anche rispetto alla variabile
x+c) invece di scrivere (f(x+c))' scriverei df(x+c)/dx. Allora quanto sopra
diventa

df(x+c)/dx = (derivata di funzione composta) = df(x+c)/(x+c) * d(x+c)/dx =

= f'(x+c) * 1 = f'(x+c).

Non e' forse molto elegante da scrivere, ma il senso di quanto qui sopra si
capisce meglio quando uno scrive, come hai fatto tu dopo, x+c = t:

df(t)/dx = df(t)/dt * dt/dx.

Se farai fisica o matematica all'uni ti troverai con funzioni non di una sola
variabile ma di piu' variabili, ognuna delle quali puo' essere funzione di
altre, del tipo F[u(x,t);v(x,t)] per cui, ad es., la derivata di F rispetto a t
si scriverebbe (@ = simbolo di derivata parziale, che e' *****ogo alla "d" di
derivata nel caso di una sola variabile)

@F/@t = @F/@u * @u/@t + @F/@v * @v/@t.

Ma era solo per illustrare la convenienza della notazione di derivata che ho
scritto sopra: se avessi usato il simbolo di apostrofo non si sarebbe capito ne'
rispetto a cosa (= rispetto a quale variabile) derivo F, ne' rispetto a cosa
derivo u oppure v.

--
Wakinian Tanka
Giorgio Pastore 30 Giu 2017 00:36
Il 29/06/17 22:01, Effe ha scritto:
....
> Sì, il mio libro di testo. Vabbè, ma almeno scrivere che a priori si
> potrebbe... ma che ciò va oltre... Insomma, almeno per non far pensare
> che tutti i problemi di Cauchy abbiano una sola soluzione. Prima di
> ieri, a una domanda del genere non so cosa avrei risposto. Adesso lo so
> e nel caso saprei anche fare un esempio :)

Beh, da questo punto di vista, e solo per farti aumentare l' appetito
per dopo l' esame ;-) , aggiungo che questa non unicità della soluzione
del problema di Cauchy non e' neanche tanto "esotica". In ottica ne hai
un' applicazione diretta al mondo fisico, se conosci cosa e' l' angolo
limite o angolo critico nella rifrazione quando il raggio luminoso passa
da un mezzo piu' denso ad uno meno denso.

Giorgio
Effe 1 Lug 2017 00:03
Il 29/06/2017 23:30, Wakinian Tanka ha scritto:

> Bene. Allora, per "dopo" (e spero che tu faccia matematica o fisica
> all'universita', mi sembri particolarmente sveglio per essere uno
> studente di liceo :-) )

Grazie. Speriamo! Intanto c'è la maturità...

> lipschitziana significa, intuitivamente"a variazione limitata" in
> quanto per ogni coppia di valori della x, x1 e x2, il rapporto
> incrementale rimane minore di una fissata quantita' positiva L:
>
>
> |f(x2) - f(x1)|/|x2- x1| < L, per ogni x1, x2 appart. D(f).

Ok :)
Effe 1 Lug 2017 00:04
Il 30/06/2017 00:36, Giorgio Pastore ha scritto:

> Beh, da questo punto di vista, e solo per farti aumentare l'
> appetito per dopo l' esame ;-) , aggiungo che questa non unicità
> della soluzione del problema di Cauchy non e' neanche tanto
> "esotica". In ottica ne hai un' applicazione diretta al mondo fisico,
> se conosci cosa e' l' angolo limite o angolo critico nella rifrazione
> quando il raggio luminoso passa da un mezzo piu' denso ad uno meno
> denso.

Uhm... Sì, però l'ho fatto l'anno scorso quando non sapevo neppure cosa
fossero le derivate. L'angolo limite è conseguenza dalla legge di Snell
e se non ricordo male essa a sua volta deriva dall'imporre che il raggio
luminoso impieghi il minor tempo possibile per attraversare due mezzi
con indice di rifrazione differenti. Un problema di questo tipo ha anche
un nome, se non ricordo male: il problema della brachistocrona (spero di
averlo scritto bene, sono andato a memoria). A questo punto direi che
impostando questo problema verrà fuori una equazione differenziale e
quindi un problema di Cauchy e che a partire da un certo angolo di
incidenza la soluzione non è più unica. Per l'appunto, angolo limite e
riflessione totale :)
Effe 1 Lug 2017 00:05
Il 29/06/2017 23:56, Wakinian Tanka ha scritto:

> df(t)/dx = df(t)/dt * dt/dx.

Ok. In effetti il nostro profe ci aveva detto che per indicare
l'operazione di derivata ci sono tanti modi. Per abitudine uso sempre
l'apostrofo, ma devo ricordarmi di questa cosa.

> Se farai fisica o matematica all'uni ti troverai con funzioni non di
> una sola variabile ma di piu' variabili, ognuna delle quali puo'
> essere funzione di altre, del tipo F[u(x,t);v(x,t)] per cui, ad es.,
> la derivata di F rispetto a t si scriverebbe (@ = simbolo di derivata
> parziale, che e' *****ogo alla "d" di derivata nel caso di una sola
> variabile)
>
> @F/@t = @F/@u * @u/@t + @F/@v * @v/@t.
>
> Ma era solo per illustrare la convenienza della notazione di derivata
> che ho scritto sopra: se avessi usato il simbolo di apostrofo non si
> sarebbe capito ne' rispetto a cosa (= rispetto a quale variabile)
> derivo F, ne' rispetto a cosa derivo u oppure v.

Mi sembra chiaro, grazie.
Effe 1 Lug 2017 00:09
Il 29/06/2017 12:23, Elio Fabri ha scritto:

> Studia questa equazione: y' = x/y.

Allora, intanto deve essere y =/= 0 altrimenti l'eq. perde significato,
quindi le soluzioni o sono sempre positive o sono sempre negative (d'ora
in poi considererò sempre y =/= 0 e non lo scriverò più per far prima).

Nei punti del piano (k,k) con k =/= 0 la soluzione ha y' = 1 e quindi la
retta tangente alla curva integrale che passa per (k,k) è y = x. La
retta stessa y = x (x =/= 0) ha questa proprietà, quindi f_1(x) = x è
già una soluzione, infatti soddisfa l'equazione (invece g(x) = x + c,
con c =/= 0 no :)) Ragionando in modo simile, ma non lo riscrivo, anche
f_2(x) = -x è una soluzione. Naturalmente, con i domini giusti.

Per x = 0 si ha y' = 0, quindi ogni curva integrale in (0,y) o ha un
estremante o un flesso orizzontale. Però:

y'' = (y - xy')/y^2

e nei punti (0,y) è:

y'' = 1/y per cui

nel semipiano superiore y'' > 0 e quindi sono punti di minimo relativi,
nel semipiano inferiore y'' < 0 e quindi sono punti di massimo relativi,

inoltre:

nel primo quadrante y' > 0 => curve integrali crescenti
nel secondo quadrante y' < 0 => curve integrali decrescenti;
nel terzo quadrante y' > 0 => curve integrali crescenti;
nel quarto quadrante y' < 0 => curve integrali decrescenti;

quindi, gli estremanti di prima sono assoluti, non relativi.

Esistono soluzioni costanti? Provo, sostituendo k nell'eq.

0 = x/k

No, non esistono soluzioni costanti.

Poste le solite condizioni di esistenza, x/y è il reciproco del
coefficiente angolare della retta passante per l'origine e per il punto
(x,y), quindi in ogni punto di ciascuna curva integrale la retta
tangente ha coefficiente angolare reciproco rispetto a quella passante
per l'origine e per il punto di tangenza. Però questo non mi fa venire
in mente niente :(

Considerando il primo quadrante, se y -> 0+ allora y' -> +oo quindi le
corrispondenti curve integrali si avvicinano all'asse x in "verticale",
cioè con la retta tangente che tende a diventare parallela all'asse y.
*****ogamente per gli altri quadranti.

Si può dedurre altro senza risolvere l'equazione?

Riportando tutto questo sul piano cartesiano mi è venuto un certo
sospetto... ma non lo dico ancora :)

> In particolare:
> - dimostra che se y=f(x) è una soluzione, lo è anche y = k*f(x/k)
> - studia i grafici, e dai un'interpr. geometrica della proprietà che precede
> - prova a generalizzare in qualche modo l'equazione.

Se f(x) è una soluzione, allora

df(x)/dx = x/f(x) è soddisfatta

Provo a sostituire nell'eq. k*f(x/k), ovviamente k =/= 0

d[k*f(x/k)]/dx = x/[k*f(x/k)]
k*d[f(x/k)]/dx = x/[k*f(x/k)]
k*[df(x/k)/d(x/k)]*(1/k) = x/[k*f(x/k)]
df(x/k)/d(x/k) = x/[k*f(x/k)]

che posso riscrivere

df(x/k)/d(x/k) = (x/k)/f(x/k)

Chiamo x/k = t e ottengo

df(t)/dt = t/f(t)

che è soddisfatta per ipotesi e quindi anche k*f(x/k) è soluzione.

Ora se a y = f(x) applico una trasformazione T e ottengo Y = k*(X/k), cioè:

y = f(x) --- T ---> Y/k = f(X/k)

significa che

| x = X/k
| y = Y/k

Perciò

| X = k*x
| Y = k*y

La trasformazione T è una omotetia centrale di rapporto k. Posso dire
che l'eq. è invariante per omotetie centrali? Ma questo cosa comporta?
Ci devo pensare...

Comunque, il sospetto di prima era che le curve fossero delle iperboli
equilatere oppure i loro asintoti.

Per risolverla, potrei usare il solito metodo della separazione delle
variabili, però ne ho trovato anche un altro:

y' = x/y => yy' = x => 2yy' = 2x => (y^2)' = 2 => y^2 = x^2 + c
=> x^2 - y^2 = -c

che rappresenta una famiglia di iperboli equilatere.

Deve però essere x^2 + c > 0 quindi

1° caso) c < 0
x < -sqrt(-c) oppure x > sqrt(-c)
la curva integrale è uno dei due semirami (o quello di "sopra" o quello
di "sotto") di un'iperbole equilatera con i vertici in (+-sqrt(-c), 0)

2° caso) se c = 0
x =/= 0
la curva integrale è la semiretta y = x o y = -x definita o per x < 0 o
per x > 0

3° caso) se c > 0
x in R
la curva integrale è uno dei due rami (quello di "sopra" o quello di
"sotto") di un'iperbole equilatera con i vertici in (0, +-sqrt(c))

Insomma, in generale sono "pezzi" di iperboli equilatere o "pezzi" degli
asintoti stessi :) Però non escludo di aver scritto delle cavolate sono
un po' stanco e ora non me la sento di rileggere tutto per bene. Per
l'interpretazione geometrica e la generalizzazione ci devo pensare un
po' di più...
Giorgio Pastore 1 Lug 2017 10:53
Il 01/07/17 08:02, Giorgio Bibbiani ha scritto:
....
> Per Giorgio Pastore: non so se intendevi che per valori
> i < i_l allora la soluzione del problema di Cauchy per le
> equazioni di Maxwell per ricavare l'onda e.m. emergente
> essendo assegnata quella incidente e quindi le condizioni
> ai bordi sulla superficie di separazione dei 2 mezzi, risulta
> non unica, e' all'incirca cosi'?

Non scomoderei Maxwell. Il problema e' tutto all' interno dell' ottica
geometrica.

In prima battuta ti accorgi che qualcosa non torna quando consideri l'
angolo critico: dal lato con indice di rifrazione piu' alto arriva un
raggio con un certo angolo di incidenza e il rifratto viaggia parallelo
alla superficie di separazione tra i due mezzi. Per la reversibilita'
dei cammini ottici significa che un raggio che viaggia parallelo puo'
"entrare nel mezzo piu' rifrangente. Ma anche continuare a viaggiare
parallelo.

L' equazione differenziale qui non e' evidente ma se consideri l'
equazione per un raggio che si muova in un mezzo a indice di rifrazione
variabile dipendente solo dalla quota (come quando devi spiegare l'
effetto "miraggio") ottieni un' equazione differenziale con una radice.
Se l' *****izzi nell' intorno del punto in cui il radicando si annulla,
scopri che ci sono due soluzioni: una in cui il raggio si muove lungo un
piano di indice di rifrazione costante e un' altra che continua con la
stessa curvatura.

Ovviamente la natura non ha "dubbi" e una semplice costruzione di
Huygens fa capire come in termini di fronti d'onda l' ambiguità viene
risolta a favore della traiettoria curva (il fronte d'onda, a differenza
del raggio non potra' mai viaggiare mantenendosi parallelo ai piani a
indice di rifrazione costante).

Giorgio
ADPUF 2 Lug 2017 22:29
Effe 00:05, sabato 1 luglio 2017:
> Il 29/06/2017 23:56, Wakinian Tanka ha scritto:
>
>> df(t)/dx = df(t)/dt * dt/dx.
>
> Ok. In effetti il nostro profe ci aveva detto che per
> indicare l'operazione di derivata ci sono tanti modi. Per
> abitudine uso sempre l'apostrofo, ma devo ricordarmi di
> questa cosa.


A volte, quando la var. indipendente è il tempo, si usa il
punto sopra, o anche due o più punti, uno per ogni derivazione.

ẋ = dx/dt
ẍ = d^2x/dt^2
ecc.


Il punto si usa anche quando si vuole distinguere tra una
funzione in generale
f(·)
e il valore di una funzione per un certo valore della variabile
f(x)


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Effe 3 Lug 2017 11:56
Il 02/07/2017 22:29, ADPUF ha scritto:

> A volte, quando la var. indipendente è il tempo, si usa il
> punto sopra, o anche due o più punti, uno per ogni derivazione.
>
> ẋ = dx/dt
> ẍ = d^2x/dt^2
> ecc.

Era la notazione che usava Newton, vero? E le derivate le chiamava
flussioni. Invece la notazione dy/dx la usava Leibniz, se non ricordo
male. Però, non so chi ha introdotto il nome di derivata e l'uso
dell'apostrofo.
ADPUF 4 Lug 2017 00:05
Effe 11:56, lunedì 3 luglio 2017:
> Il 02/07/2017 22:29, ADPUF ha scritto:
>
>> A volte, quando la var. indipendente è il tempo, si usa il
>> punto sopra, o anche due o più punti, uno per ogni
>> derivazione.
>>
>> ẋ = dx/dt
>> ẍ = d^2x/dt^2
>> ecc.
>
> Era la notazione che usava Newton, vero?


Non so, ero fuori.
;-)


> E le derivate le chiamava flussioni. Invece la notazione
> dy/dx la usava Leibniz, se non ricordo male. Però, non so chi
> ha introdotto il nome di derivata e l'uso dell'apostrofo.


Nemmeno io.


--
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