Matematica. La regina delle scienze
 

Vincita

marcofuics 5 Mag 2017 17:04
Si consideri il gioco seguente: si lancia una moneta fino a ottenere una croce,
e si vincono tanti euro quante sono le volte che è stata lanciata la moneta.
Quindi se si ottiene subito una croce, si vince un euro; se esce una testa prima
di una croce due euro, et cetera. Qual è il valore di attesa della vincita?
Bruno Campanini 5 Mag 2017 18:14
marcofuics explained :
> Si consideri il gioco seguente: si lancia una moneta fino a ottenere una
> croce, e si vincono tanti euro quante sono le volte che è stata lanciata la
> moneta. Quindi se si ottiene subito una croce, si vince un euro; se esce una
> testa prima di una croce due euro, et cetera. Qual è il valore di attesa
> della vincita?

Quando andavo a scuola io si chiamava speranza matematica.

50 Cent

Bruno
marcofuics 5 Mag 2017 18:52
E che ragionamento hai seguito?
ADPUF 5 Mag 2017 19:29
marcofuics 17:04, venerdì 5 maggio 2017:

> Si consideri il gioco seguente: si lancia una moneta fino a
> ottenere una croce, e si vincono tanti euro quante sono le
> volte che è stata lanciata la moneta. Quindi se si ottiene
> subito una croce, si vince un euro; se esce una testa prima
> di una croce due euro, et cetera. Qual è il valore di attesa
> della vincita?

1*1/2 +
2*1/2*1/2 +
3*1/2*1/2*1/2 +
...

1/2 + 2/4 + 3/8 + 4/16 + 5/32 +...

Somma della serie?

Prendiamo la serie
x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 +...

Ha come somma S= 1/(1-x)-1 = x/(1-x)

La sua derivata
1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + 5x^4 +...

ha come somma la derivata della somma citata sopra:
S'= D[x/(1-x)] = (1-x+x)/(1-x)^2 = 1/(1-x)^2

Se x= 1/2:
S= 1
S'= 4


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Bruno Campanini 6 Mag 2017 00:18
marcofuics formulated on Friday :
> E che ragionamento hai seguito?

La speranza matematica è data dal prodotto della vincita
(1 euro) per la probabilità di conseguirla (1/2).

Bruno
Tommaso Russo, Trieste 6 Mag 2017 00:50
Il 05/05/2017 18:14, Bruno Campanini ha scritto:
> marcofuics explained :
>> ...se si ottiene subito una croce, si vince un
>> euro; se esce una testa prima di una croce due euro, et cetera. Qual è
>> il valore di attesa della vincita?

> 50 Cent

Non puo' essere inferiore a 1 euro! Un euro lo si vince comunque, e nel
50% dei casi si prosegue.

--
TRu-TS
buon vento e cieli sereni
Tommaso Russo, Trieste 6 Mag 2017 00:53
Il 05/05/2017 19:29, ADPUF ha scritto:
> marcofuics 17:04, venerdì 5 maggio 2017:
>
>> Si consideri il gioco seguente: si lancia una moneta fino a
>> ottenere una croce, e si vincono tanti euro quante sono le
>> volte che è stata lanciata la moneta. Quindi se si ottiene
>> subito una croce, si vince un euro; se esce una testa prima
>> di una croce due euro, et cetera. Qual è il valore di attesa
>> della vincita?
>
> 1*1/2 +
> 2*1/2*1/2 +
> 3*1/2*1/2*1/2 +
> ...
>
> 1/2 + 2/4 + 3/8 + 4/16 + 5/32 +...
>
> Somma della serie?
>
> Prendiamo la serie
> x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 +...
>
> Ha come somma S= 1/(1-x)-1 = x/(1-x)
>
> La sua derivata
> 1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + 5x^4 +...
>
> ha come somma la derivata della somma citata sopra:
> S'= D[x/(1-x)] = (1-x+x)/(1-x)^2 = 1/(1-x)^2
>
> Se x= 1/2:
> S= 1
> S'= 4

Bel metodo! Ma

1/2 + 2/4 + 3/8 + 4/16 + 5/32 +...

non equivale a

1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + 5x^4 +...

con x = 1/2. Equivale invece a

1/2 * (1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + 5x^4 +...)

con x = 1/2.

Quindi la somma e' S'/2 = 2.


--
TRu-TS
buon vento e cieli sereni
Tommaso Russo, Trieste 6 Mag 2017 01:03
Il 06/05/2017 00:53, Tommaso Russo, Trieste ha scritto:
> Il 05/05/2017 19:29, ADPUF ha scritto:
>> marcofuics 17:04, venerdì 5 maggio 2017:
>>
>>> Si consideri il gioco seguente: si lancia una moneta fino a
>>> ottenere una croce, e si vincono tanti euro quante sono le
>>> volte che è stata lanciata la moneta. Quindi se si ottiene
>>> subito una croce, si vince un euro; se esce una testa prima
>>> di una croce due euro, et cetera. Qual è il valore di attesa
>>> della vincita?
>>
>> 1*1/2 +
>> 2*1/2*1/2 +
>> 3*1/2*1/2*1/2 +
>> ...
>>
>> 1/2 + 2/4 + 3/8 + 4/16 + 5/32 +...
>>
>> Somma della serie?
>>
>> Prendiamo la serie
>> x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 +...
>>
>> Ha come somma S= 1/(1-x)-1 = x/(1-x)
>>
>> La sua derivata
>> 1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + 5x^4 +...
>>
>> ha come somma la derivata della somma citata sopra:
>> S'= D[x/(1-x)] = (1-x+x)/(1-x)^2 = 1/(1-x)^2
>>
>> Se x= 1/2:
>> S= 1
>> S'= 4
>
> Bel metodo! Ma
>
> 1/2 + 2/4 + 3/8 + 4/16 + 5/32 +...
>
> non equivale a
>
> 1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + 5x^4 +...
>
> con x = 1/2. Equivale invece a
>
> 1/2 * (1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + 5x^4 +...)
>
> con x = 1/2.
>
> Quindi la somma e' S'/2 = 2.

E ad essa bisogna aggiungere 1 euro, che viene pagato comunque la prima
volta che esce croce.


--
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Tommaso Russo, Trieste 6 Mag 2017 01:28
Il 06/05/2017 01:03, Tommaso Russo, Trieste ha scritto:
> Il 06/05/2017 00:53, Tommaso Russo, Trieste ha scritto:
>> Il 05/05/2017 19:29, ADPUF ha scritto:

>>> 1*1/2 +
>>> 2*1/2*1/2 +
>>> 3*1/2*1/2*1/2 +
>>> ...
>>> 1/2 + 2/4 + 3/8 + 4/16 + 5/32 +...
>>>
>>> Somma della serie?
...
> E ad essa bisogna aggiungere 1 euro, che viene pagato comunque la prima
> volta che esce croce.

e c'e' ancora un errore. Il valore atteso (a parte l'euro in piu' che
viene pagato comunque) non e'

> 1*1/2 +
> 2*1/2*1/2 +
> 3*1/2*1/2*1/2 + ...

ma

1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 ...

che converge b*****mente a 1. Quindi il valore atteso della vincita e'
proprio 2.

Si poteva ottenere subito dalla

1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 ...

considerando che al primo lancio si vince comunque un euro, e ogni euro
successivo si vince solo se nel lancio PRECEDENTE era uscita testa.


--
TRu-TS
buon vento e cieli sereni
effe 6 Mag 2017 07:49
Il 06/05/2017 01.28, Tommaso Russo, Trieste ha scritto:

> Si poteva ottenere subito dalla
>
> 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 ...
>
> considerando che al primo lancio si vince comunque un euro, e ogni euro
> successivo si vince solo se nel lancio PRECEDENTE era uscita testa.

Già.
1°lancio se C 1euro
se T 0euro allora 2°lancio se C2euro
se T 0euro allora 3°lancio se C3euro
se T....
...
dopo n lanci n euro.
effe 6 Mag 2017 08:30
Il 06/05/2017 07.49, effe ha scritto:
> Il 06/05/2017 01.28, Tommaso Russo, Trieste ha scritto:
>
>> Si poteva ottenere subito dalla
>>
>> 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 ...
>>
>> considerando che al primo lancio si vince comunque un euro, e ogni
>> euro successivo si vince solo se nel lancio PRECEDENTE era uscita testa.
>
> Già.
> 1°lancio se C 1euro
> se T 0euro allora 2°lancio se C2euro
> se T 0euro allora 3°lancio se C3euro
> se T....
> ....
> dopo n lanci n euro.

quindi

1/2+1/4+.. = 1
pauperino@gmail.com 6 Mag 2017 12:07
Il giorno venerdì 5 maggio 2017 17:04:12 UTC+2, marcofuics ha scritto:
> Si consideri il gioco seguente: si lancia una moneta fino a ottenere una
croce, e si vincono tanti euro quante sono le volte che è stata lanciata la
moneta. Quindi se si ottiene subito una croce, si vince un euro; se esce una
testa prima di una croce due euro, et cetera. Qual è il valore di attesa della
vincita?

Risultato con una simulazione su 10 milioni di lanci (pseudocasuali):

>>> import numpy as np
>>> np.average(np.diff(np.where(np.random.rand(10000000)>.5)))
>>> 2.0001484111011503
>>> 2.0006968430588588
>>> ...
>>> 1.9996184726428088
marcofuics 6 Mag 2017 12:46
Bravissimo:)
marcofuics 6 Mag 2017 12:50
Pseudocasuali

Mi sono sempre chiesto ma non ho mai tentato una *****isi dettagliata: ma quanto
realmente l'algoritmo riesce a dare valori random?
effe 6 Mag 2017 12:57
Il 06/05/2017 01.28, Tommaso Russo, Trieste ha scritto:

> considerando che al primo lancio si vince comunque un euro, e ogni euro
> successivo si vince solo se nel lancio PRECEDENTE era uscita testa.

Pensavo fosse sbagliato dire che al primo lancio si vince comunque un
euro perché se esce T non si becca niente.
Perché, invece, è giusto ?
marcofuics 6 Mag 2017 14:01
Bruno Campanini wrote

>marcofuics formulated on Friday :
>>E che ragionamento hai seguito?

>La speranza matematica è data dal >prodotto della vincita
>(1 euro) per la probabilità di >conseguirla (1/2).

Ma il problema è diverso
Rileggi il quesito e le modalità della vincita
Jinx 6 Mag 2017 16:03
Il 06/05/2017 00:50, Tommaso Russo, Trieste ha scritto:
> Il 05/05/2017 18:14, Bruno Campanini ha scritto:
>> marcofuics explained :
>>> ...se si ottiene subito una croce, si vince un
>>> euro; se esce una testa prima di una croce due euro, et cetera. Qual è
>>> il valore di attesa della vincita?
>
>> 50 Cent
>
> Non puo' essere inferiore a 1 euro! Un euro lo si vince comunque, e nel
> 50% dei casi si prosegue.
>

se per 'valore di attesa' intendi 'quanto si vince' allora il problema è
b*****e: si vincono tanti euri quanti sono stati i lanci prima che esca
la croce.
Se invece il 'valore di attesa' è quello definito nella teoria della
probabilità... vedo che hai un po di confusione nella testa.
effe 6 Mag 2017 19:00
Il 06/05/2017 16.07, Tommaso Russo, Trieste ha scritto:

> Perche' marcofuics ha scritto proprio cosi':
> "si lancia una moneta fino a ottenere una croce, e si vincono tanti euro
> quante sono le volte che è stata lanciata la moneta."

Quindi si vince 1 euro e non 0,5 se esce subito C.
ok. Questo allora mi porta a 0,5+1/2+1/4+...che dà 1,5.
Mah, non capisco ma è un problema mio :)
JTS 6 Mag 2017 19:07
On Saturday, May 6, 2017 at 1:28:43 AM UTC+2, Tommaso Russo, Trieste wrote:

>
> e c'e' ancora un errore. Il valore atteso (a parte l'euro in piu' che
> viene pagato comunque) non e'
>
>> 1*1/2 +
>> 2*1/2*1/2 +
>> 3*1/2*1/2*1/2 + ...
>
> ma
>
> 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 ...
>
> che converge b*****mente a 1. Quindi il valore atteso della vincita e'
> proprio 2.
>
> Si poteva ottenere subito dalla
>
> 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 ...
>
> considerando che al primo lancio si vince comunque un euro, e ogni euro
> successivo si vince solo se nel lancio PRECEDENTE era uscita testa.
>


Secondo me entrambi i calcoli sono giusti.
Nel primo calcolo
1 euro se i lanci sono esattamente uno
oppure
2 euro se i lanci sono esattamente due
oppure ...

Nel secondo calcolo
1 euro se i lanci sono almeno uno
piu'
1 euro se i lanci sono almeno due
piu' ...

Il secondo calcolo non e' il solito calcolo del valor me*****, potrebbe essere
semplicemente un modo diverso di fare la somma?
effe 7 Mag 2017 07:26
Il 06/05/2017 16.07, Tommaso Russo, Trieste ha scritto:

> "si lancia una moneta fino a ottenere una croce, e si vincono tanti euro
> quante sono le volte che è stata lanciata la moneta."

Ok, capito.
Ovvio, un euro è già in tasca prima di iniziare.
Yoda 7 Mag 2017 09:35
Addi' 05 mag 2017, marcofuics scrive:

> Si consideri il gioco seguente: si lancia una moneta fino a ottenere
> una croce, e si vincono tanti euro quante sono le volte che è stata
> lanciata la moneta. Quindi se si ottiene subito una croce, si vince un
> euro; se esce una testa prima di una croce due euro, et cetera. Qual è
> il valore di attesa della vincita?

Non e' cosa semplice procedere nell'*****isi.. Se con "valore di attesa"
intendi l'attesa di C (croce), allora la v.a. (variabile aleatoria) da
considerare per il costo del biglietto come gioco equo e' Y=2^X, se X e'
la v.a. "attesa di C".

Ebbene, in questo caso mi risulta che la media di Y e' +inf. Dunque
inaccettabile, visto che la vincita e' comunque finita.
Ciao

--
bye, Yoda
Elio Fabri 7 Mag 2017 17:14
marcofuics ha scritto:
> Si consideri il gioco seguente: si lancia una moneta fino a ottenere
> una croce, e si vincono tanti euro quante sono le volte che è stata
> lanciata la moneta. Quindi se si ottiene subito una croce, si vince un
> euro; se esc e una testa prima di una croce due euro, et cetera. Qual
> è il valore di attesa della vincita?
Mi sono impietosito, se non altro per la lunghezza del thread.
Eccovi quindi una soluzione che non richiede di sommare serie.

Sia s la speranza matematica ovvero vincita attesa all'inizio.
Dopo il pirmo lancio abbiamo due alternative:
- è uscita croce, probab. 1/2, vincita 1
- è uscita testa, probab. 1/2, vincita attesa ?
Riflettiamo sul caso T.

La situazione è la stessa che al primo lancio, con la sola differenza
che le vincite sono tutte aumentate di 1. Quindi la vincita attesa è
s+1.

Dunque s = (1/2)*1 + (1/2)*(s+1) ==> s=2.


--
Elio Fabri
marcofuics 7 Mag 2017 19:51
Bellissima
effe 7 Mag 2017 20:05
Il 05/05/2017 17.04, marcofuics ha scritto:
> Si consideri il gioco seguente: si lancia una moneta fino a ottenere una
croce, e si vincono tanti euro quante sono le volte che è stata lanciata la
moneta. Quindi se si ottiene subito una croce, si vince un euro; se esce una
testa prima di una croce due euro, et cetera. Qual è il valore di attesa della
vincita?

Si può dire che, siccome la probabilità di C è 1/2, esce C ogni 2 lanci
e quindi vince 2 euro.
Yoda 7 Mag 2017 23:00
Addi' 07 mag 2017, Yoda scrive:
> Addi' 05 mag 2017, marcofuics scrive:

>> Si consideri il gioco seguente: si lancia una moneta fino a ottenere
>> una croce, e si vincono tanti euro quante sono le volte che è stata
>> lanciata la moneta. Quindi se si ottiene subito una croce, si vince un
>> euro; se esce una testa prima di una croce due euro, et cetera. Qual è
>> il valore di attesa della vincita?

Vedo che il tuo "et cetera" e' ambiguo, puo' essere inteso in questi
due modi ben diversi:
1. C=1 euro; TC=2 euro; TTC=3 euro; -> n-mo lancio vince n euro
2. C=1 euro; TC=2 euro; TTC=4 euro; -> n-mo lancio vince 2^n euro

Il seguito mio seguente si riferiva al 2, dunque come non detto.

> Non e' cosa semplice procedere nell'*****isi.. Se con "valore di attesa"
> intendi l'attesa di C (croce), allora la v.a. (variabile aleatoria) da
> considerare per il costo del biglietto come gioco equo e' Y=2^X, se X e'
> la v.a. "attesa di C".

> Ebbene, in questo caso mi risulta che la media di Y e' +inf. Dunque
> inaccettabile, visto che la vincita e' comunque finita.
> Ciao

--
bye, Yoda
Yoda 10 Mag 2017 11:34
Addi' 07 mag 2017, Yoda scrive:

> Vedo che il tuo "et cetera" e' ambiguo, puo' essere inteso in questi
> due modi ben diversi:
> 1. C=1 euro; TC=2 euro; TTC=3 euro; -> n-mo lancio vince n euro
> 2. C=1 euro; TC=2 euro; TTC=4 euro; -> n-mo lancio vince 2^n euro

> Il seguito mio seguente si riferiva al 2, dunque come non detto.

E adesso mi sono anche ricordato che il caso 2 e' infatti un famoso
problema.. ecco perche' inconsciamente ho scelto 2.

--
bye, Yoda
ADPUF 10 Mag 2017 21:15
effe 12:57, sabato 6 maggio 2017:
> Il 06/05/2017 01.28, Tommaso Russo, Trieste ha scritto:
>
>> considerando che al primo lancio si vince comunque un euro,
>> e ogni euro successivo si vince solo se nel lancio
>> PRECEDENTE era uscita testa.
>
> Pensavo fosse sbagliato dire che al primo lancio si vince
> comunque un euro perché se esce T non si becca niente.
> Perché, invece, è giusto ?


Si vince comunque un euro ogni volta che esce T, infatti il
premio se esce C è pari al numero di lanci effettuati.
1 lancio esce C vinco 1
2 lanci esce TC vinco 2
3 lanci esce TTC vinco 3
...


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ADPUF 10 Mag 2017 21:16
marcofuics 12:50, sabato 6 maggio 2017:
>
> Pseudocasuali
>
> Mi sono sempre chiesto ma non ho mai tentato una *****isi
> dettagliata: ma quanto realmente l'algoritmo riesce a dare
> valori random?


Eh ci sono appositi test.

~~~
Colgo l'occasione per divagare un po'.

Pochi giorni fa vagando per Wikipedia ho guardato la pagina
sulle sequenze pseudocasuali "regolarizzate" di Sobol.
(quasi-random low-discrepancy sequences.)

https://en.wikipedia.org/wiki/Sobol_sequence

https://en.wikipedia.org/wiki/Low-discrepancy_sequence

Non sapevo che esistevano. Pare che siano utili in molti casi.


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ADPUF 22 Mag 2017 00:32
Elio Fabri 17:14, domenica 7 maggio 2017:
>
> Sia s la speranza matematica ovvero vincita attesa
> all'inizio. Dopo il pirmo lancio abbiamo due alternative:
> - è uscita croce, probab. 1/2, vincita 1
> - è uscita testa, probab. 1/2, vincita attesa ?
> Riflettiamo sul caso T.
>
> La situazione è la stessa che al primo lancio, con la sola
> differenza che le vincite sono tutte aumentate di 1. Quindi
> la vincita attesa è s+1.
>
> Dunque s = (1/2)*1 + (1/2)*(s+1) ==> s=2.


Si può dire che c'è una simmetria per traslazione (nel tempo
discreto)?


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Elio Fabri 22 Mag 2017 15:23
ADPUF ha scritto:
> Si può dire che c'è una simmetria per traslazione (nel tempo
> discreto)?
Per quanto riguarda le probabilità, sì.
Detto in altre parole, ogni ramo dell'albero è identico all'intero
albero.

Però c'è una differenza per quanto riguarda le vincite, che crescono
nel tempo.
Altrimenti la vincita attesa sarebbe infinita.


--
Elio Fabri

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