Matematica. La regina delle scienze
 

la "forma" di un numero

radicale.001@gmail.com 5 Mag 2017 12:08
i matematici dicono ad es.
i pari m hanno la "forma" (o sono della forma)
m = 2n

oppure i dispari d hanno la "forma" d = 2n + 1
oppure i quadrati q sono della forma q = n^2

ecc ecc

questo modo di esporre le cose ha sempre esercitato
su di me un grande fascino perchè pur essendo molto
informale e intuitivo è chiaro come il sole.

Si direbbe, piu formalmente :
un dispari d è tale se esiste almeno un n tale
per cui d = 2n + 1

Apparentemente l' esposizione è del tutto equivalente
alla precedente ma a parte il fatto che è meno
"suggestiva" (e perchè mai dovremmo rinunciare alla
suggestione ? Essa aiuta molto ad amare la matematica)
secondo me non lo è affatto.

Infatti dire che un numero e' della forma 2n + 1 è
costruire una specie di "stampo" : se un certo numero
si "incastra" perfettamente nello stampo allora è
dispari. Altrimenti non lo è.

Come vedete l' approccio è abbastanza differente, anche
se i risultati sono identici.

Non trovate ?
Giovanni 26 Mag 2017 15:27
Il giorno venerdì 5 maggio 2017 12:08:15 UTC+2, radica...@gmail.com ha scritto:
> i matematici dicono ad es.
> i pari m hanno la "forma" (o sono della forma)
> m = 2n
>
> oppure i dispari d hanno la "forma" d = 2n + 1
> oppure i quadrati q sono della forma q = n^2
>
> ecc ecc
>
> questo modo di esporre le cose ha sempre esercitato
> su di me un grande fascino perchè pur essendo molto
> informale e intuitivo è chiaro come il sole.
>
> Si direbbe, piu formalmente :
> un dispari d è tale se esiste almeno un n tale
> per cui d = 2n + 1
>
> Apparentemente l' esposizione è del tutto equivalente
> alla precedente ma a parte il fatto che è meno
> "suggestiva" (e perchè mai dovremmo rinunciare alla
> suggestione ? Essa aiuta molto ad amare la matematica)
> secondo me non lo è affatto.
>
> Infatti dire che un numero e' della forma 2n + 1 è
> costruire una specie di "stampo" : se un certo numero
> si "incastra" perfettamente nello stampo allora è
> dispari. Altrimenti non lo è.

Che 2n+1 sia dispari non è una definizione, ma deve NECESSARIAMENTE essere
così.

Definizione è quella di numero pari:
n è pari se esiste m : n = 2m
Dispari è poi, semplicemente, NON-pari.

Sia n non pari e >2 (Per semplicità mi limito ai numeri positivi).
Sia m il massimo numero pari minore di n.
Sara' quindi m = 2q, per qualche q.
Ora, 2+2q è certamente pari.
E deve essere anche >n. Se non lo fosse contraddirebbe che m è il massimo pari
minore di n.
Perciò:
2q < n < 2+2q.
Ma, trattandosi di numeri interi, tra un numero ed il successore del successore
di quel numero, ci sta il successore, perciò:
n = 2q+1.
Abbiamo quindi dimostrato che:
Numero_Dispari => Numero_(Della forma)2q+1

Per il viceversa: 2q+1 => Dispari.
Può 2q+1 essere pari ?
Se lo fosse, 2q+1 = 2n, per qualche n.
Ma allora: 1 = 2(n-q)
Al minimo abbiamo n-q=1, quindi 1 = 2
Negli altri casi n-q > 1, peggio che peggio.
Perciò, 2q+1 è dispari, ossia
2q+1 => Dispari

Con questo abbiamo stabilito l'equivalenza logica
tra 2q+1 (O 2n+1, che dir si voglia) e Dispari.

Ciao
Giovanni
radicale.001@gmail.com 29 Mag 2017 18:21
Il giorno venerdì 26 maggio 2017 15:27:59 UTC+2, Giovanni ha scritto:
> Il giorno venerdì 5 maggio 2017 12:08:15 UTC+2, radica...@gmail.com ha
scritto:
>> i matematici dicono ad es.
>> i pari m hanno la "forma" (o sono della forma)
>> m = 2n
>>
>> oppure i dispari d hanno la "forma" d = 2n + 1
>> oppure i quadrati q sono della forma q = n^2
>>
>> ecc ecc
>>
>> questo modo di esporre le cose ha sempre esercitato
>> su di me un grande fascino perchè pur essendo molto
>> informale e intuitivo è chiaro come il sole.
>>
>> Si direbbe, piu formalmente :
>> un dispari d è tale se esiste almeno un n tale
>> per cui d = 2n + 1
>>
>> Apparentemente l' esposizione è del tutto equivalente
>> alla precedente ma a parte il fatto che è meno
>> "suggestiva" (e perchè mai dovremmo rinunciare alla
>> suggestione ? Essa aiuta molto ad amare la matematica)
>> secondo me non lo è affatto.
>>
>> Infatti dire che un numero e' della forma 2n + 1 è
>> costruire una specie di "stampo" : se un certo numero
>> si "incastra" perfettamente nello stampo allora è
>> dispari. Altrimenti non lo è.
>
> Che 2n+1 sia dispari non è una definizione, ma deve
> NECESSARIAMENTE essere così.

ma chi ha detto che è una definizione ?
se lo becco gli faccio un ******* cosi :-)


> Definizione è quella di numero pari:
> n è pari se esiste m : n = 2m
> Dispari è poi, semplicemente, NON-pari.
>
> Sia n non pari e >2 (Per semplicità mi limito ai numeri positivi).
> Sia m il massimo numero pari minore di n.
> Sara' quindi m = 2q, per qualche q.
> Ora, 2+2q è certamente pari.
> E deve essere anche >n. Se non lo fosse contraddirebbe che m è il massimo
pari minore di n.
> Perciò:
> 2q < n < 2+2q.
> Ma, trattandosi di numeri interi, tra un numero ed il successore del
successore di quel numero, ci sta il successore, perciò:
> n = 2q+1.
> Abbiamo quindi dimostrato che:
> Numero_Dispari => Numero_(Della forma)2q+1
>
> Per il viceversa: 2q+1 => Dispari.
> Può 2q+1 essere pari ?
> Se lo fosse, 2q+1 = 2n, per qualche n.
> Ma allora: 1 = 2(n-q)
> Al minimo abbiamo n-q=1, quindi 1 = 2
> Negli altri casi n-q > 1, peggio che peggio.
> Perciò, 2q+1 è dispari, ossia
> 2q+1 => Dispari
>
> Con questo abbiamo stabilito l'equivalenza logica
> tra 2q+1 (O 2n+1, che dir si voglia) e Dispari.
>

ma non facevi prima a dire :

m è pari se e solo se dividendolo per 2 da resto 0

invece 2*n + 1 diviso 2 da resto 1, quindi non è pari,
quindi è dispari

?
Giovanni 30 Mag 2017 10:25
Il giorno lunedì 29 maggio 2017 18:21:09 UTC+2, radica...@gmail.com ha scritto:
> Il giorno venerdì 26 maggio 2017 15:27:59 UTC+2, Giovanni ha scritto:
>> Il giorno venerdì 5 maggio 2017 12:08:15 UTC+2, radica...@gmail.com ha
scritto:
>>> i matematici dicono ad es.
>>> i pari m hanno la "forma" (o sono della forma)
>>> m = 2n
>>>
>>> oppure i dispari d hanno la "forma" d = 2n + 1
>>> oppure i quadrati q sono della forma q = n^2
>>>
>>> ecc ecc
>>>
>>> questo modo di esporre le cose ha sempre esercitato
>>> su di me un grande fascino perchè pur essendo molto
>>> informale e intuitivo è chiaro come il sole.
>>>
>>> Si direbbe, piu formalmente :
>>> un dispari d è tale se esiste almeno un n tale
>>> per cui d = 2n + 1
>>>
>>> Apparentemente l' esposizione è del tutto equivalente
>>> alla precedente ma a parte il fatto che è meno
>>> "suggestiva" (e perchè mai dovremmo rinunciare alla
>>> suggestione ? Essa aiuta molto ad amare la matematica)
>>> secondo me non lo è affatto.
>>>
>>> Infatti dire che un numero e' della forma 2n + 1 è
>>> costruire una specie di "stampo" : se un certo numero
>>> si "incastra" perfettamente nello stampo allora è
>>> dispari. Altrimenti non lo è.
>>
>> Che 2n+1 sia dispari non è una definizione, ma deve
>> NECESSARIAMENTE essere così.
>
> ma chi ha detto che è una definizione ?
> se lo becco gli faccio un ******* cosi :-)
>
>
>> Definizione è quella di numero pari:
>> n è pari se esiste m : n = 2m
>> Dispari è poi, semplicemente, NON-pari.
>>
>> Sia n non pari e >2 (Per semplicità mi limito ai numeri positivi).
>> Sia m il massimo numero pari minore di n.
>> Sara' quindi m = 2q, per qualche q.
>> Ora, 2+2q è certamente pari.
>> E deve essere anche >n. Se non lo fosse contraddirebbe che m è il massimo
pari minore di n.
>> Perciò:
>> 2q < n < 2+2q.
>> Ma, trattandosi di numeri interi, tra un numero ed il successore del
successore di quel numero, ci sta il successore, perciò:
>> n = 2q+1.
>> Abbiamo quindi dimostrato che:
>> Numero_Dispari => Numero_(Della forma)2q+1
>>
>> Per il viceversa: 2q+1 => Dispari.
>> Può 2q+1 essere pari ?
>> Se lo fosse, 2q+1 = 2n, per qualche n.
>> Ma allora: 1 = 2(n-q)
>> Al minimo abbiamo n-q=1, quindi 1 = 2
>> Negli altri casi n-q > 1, peggio che peggio.
>> Perciò, 2q+1 è dispari, ossia
>> 2q+1 => Dispari
>>
>> Con questo abbiamo stabilito l'equivalenza logica
>> tra 2q+1 (O 2n+1, che dir si voglia) e Dispari.
>>
>
> ma non facevi prima a dire :
>
> m è pari se e solo se dividendolo per 2 da resto 0

Ma non ho usato la nozione di "divisione" e di "resto".

> invece 2*n + 1 diviso 2 da resto 1, quindi non è pari,
> quindi è dispari

E se m è dispari come si dimostra che deve avere la forma 2n+1 ?
radicale.001@gmail.com 30 Mag 2017 11:51
Il giorno martedì 30 maggio 2017 10:25:58 UTC+2, Giovanni ha scritto:
> Il giorno lunedì 29 maggio 2017 18:21:09 UTC+2, radica...@gmail.com ha
scritto:
>> Il giorno venerdì 26 maggio 2017 15:27:59 UTC+2, Giovanni ha scritto:
>>> Il giorno venerdì 5 maggio 2017 12:08:15 UTC+2, radica...@gmail.com ha
scritto:
>>>> i matematici dicono ad es.
>>>> i pari m hanno la "forma" (o sono della forma)
>>>> m = 2n
>>>>
>>>> oppure i dispari d hanno la "forma" d = 2n + 1
>>>> oppure i quadrati q sono della forma q = n^2
>>>>
>>>> ecc ecc
>>>>
>>>> questo modo di esporre le cose ha sempre esercitato
>>>> su di me un grande fascino perchè pur essendo molto
>>>> informale e intuitivo è chiaro come il sole.
>>>>
>>>> Si direbbe, piu formalmente :
>>>> un dispari d è tale se esiste almeno un n tale
>>>> per cui d = 2n + 1
>>>>
>>>> Apparentemente l' esposizione è del tutto equivalente
>>>> alla precedente ma a parte il fatto che è meno
>>>> "suggestiva" (e perchè mai dovremmo rinunciare alla
>>>> suggestione ? Essa aiuta molto ad amare la matematica)
>>>> secondo me non lo è affatto.
>>>>
>>>> Infatti dire che un numero e' della forma 2n + 1 è
>>>> costruire una specie di "stampo" : se un certo numero
>>>> si "incastra" perfettamente nello stampo allora è
>>>> dispari. Altrimenti non lo è.
>>>
>>> Che 2n+1 sia dispari non è una definizione, ma deve
>>> NECESSARIAMENTE essere così.
>>
>> ma chi ha detto che è una definizione ?
>> se lo becco gli faccio un ******* cosi :-)
>>
>>
>>> Definizione è quella di numero pari:
>>> n è pari se esiste m : n = 2m
>>> Dispari è poi, semplicemente, NON-pari.
>>>
>>> Sia n non pari e >2 (Per semplicità mi limito ai numeri positivi).
>>> Sia m il massimo numero pari minore di n.
>>> Sara' quindi m = 2q, per qualche q.
>>> Ora, 2+2q è certamente pari.
>>> E deve essere anche >n. Se non lo fosse contraddirebbe che m è il massimo
pari minore di n.
>>> Perciò:
>>> 2q < n < 2+2q.
>>> Ma, trattandosi di numeri interi, tra un numero ed il successore del
successore di quel numero, ci sta il successore, perciò:
>>> n = 2q+1.
>>> Abbiamo quindi dimostrato che:
>>> Numero_Dispari => Numero_(Della forma)2q+1
>>>
>>> Per il viceversa: 2q+1 => Dispari.
>>> Può 2q+1 essere pari ?
>>> Se lo fosse, 2q+1 = 2n, per qualche n.
>>> Ma allora: 1 = 2(n-q)
>>> Al minimo abbiamo n-q=1, quindi 1 = 2
>>> Negli altri casi n-q > 1, peggio che peggio.
>>> Perciò, 2q+1 è dispari, ossia
>>> 2q+1 => Dispari
>>>
>>> Con questo abbiamo stabilito l'equivalenza logica
>>> tra 2q+1 (O 2n+1, che dir si voglia) e Dispari.
>>>
>>
>> ma non facevi prima a dire :
>>
>> m è pari se e solo se dividendolo per 2 da resto 0
>
> Ma non ho usato la nozione di "divisione" e di "resto".

e perchè no ?

>> invece 2*n + 1 diviso 2 da resto 1, quindi non è pari,
>> quindi è dispari
>
> E se m è dispari come si dimostra che deve avere la forma 2n+1 ?

e che altra forma potrebbe avere visto che il resto della divisione
per 2 puo' essere solo 0 oppure 1 ?
radicale.001@gmail.com 30 Mag 2017 12:02
Il giorno martedì 30 maggio 2017 11:51:13 UTC+2, radica...@gmail.com ha
scritto:
> Il giorno martedì 30 maggio 2017 10:25:58 UTC+2, Giovanni ha scritto:
>> Il giorno lunedì 29 maggio 2017 18:21:09 UTC+2, radica...@gmail.com ha
scritto:
>>> Il giorno venerdì 26 maggio 2017 15:27:59 UTC+2, Giovanni ha scritto:
>>>> Il giorno venerdì 5 maggio 2017 12:08:15 UTC+2, radica...@gmail.com ha
scritto:
>>>>> i matematici dicono ad es.
>>>>> i pari m hanno la "forma" (o sono della forma)
>>>>> m = 2n
>>>>>
>>>>> oppure i dispari d hanno la "forma" d = 2n + 1
>>>>> oppure i quadrati q sono della forma q = n^2
>>>>>
>>>>> ecc ecc
>>>>>
>>>>> questo modo di esporre le cose ha sempre esercitato
>>>>> su di me un grande fascino perchè pur essendo molto
>>>>> informale e intuitivo è chiaro come il sole.
>>>>>
>>>>> Si direbbe, piu formalmente :
>>>>> un dispari d è tale se esiste almeno un n tale
>>>>> per cui d = 2n + 1
>>>>>
>>>>> Apparentemente l' esposizione è del tutto equivalente
>>>>> alla precedente ma a parte il fatto che è meno
>>>>> "suggestiva" (e perchè mai dovremmo rinunciare alla
>>>>> suggestione ? Essa aiuta molto ad amare la matematica)
>>>>> secondo me non lo è affatto.
>>>>>
>>>>> Infatti dire che un numero e' della forma 2n + 1 è
>>>>> costruire una specie di "stampo" : se un certo numero
>>>>> si "incastra" perfettamente nello stampo allora è
>>>>> dispari. Altrimenti non lo è.
>>>>
>>>> Che 2n+1 sia dispari non è una definizione, ma deve
>>>> NECESSARIAMENTE essere così.
>>>
>>> ma chi ha detto che è una definizione ?
>>> se lo becco gli faccio un ******* cosi :-)
>>>
>>>
>>>> Definizione è quella di numero pari:
>>>> n è pari se esiste m : n = 2m
>>>> Dispari è poi, semplicemente, NON-pari.
>>>>
>>>> Sia n non pari e >2 (Per semplicità mi limito ai numeri positivi).
>>>> Sia m il massimo numero pari minore di n.
>>>> Sara' quindi m = 2q, per qualche q.
>>>> Ora, 2+2q è certamente pari.
>>>> E deve essere anche >n. Se non lo fosse contraddirebbe che m è il
massimo pari minore di n.
>>>> Perciò:
>>>> 2q < n < 2+2q.
>>>> Ma, trattandosi di numeri interi, tra un numero ed il successore del
successore di quel numero, ci sta il successore, perciò:
>>>> n = 2q+1.
>>>> Abbiamo quindi dimostrato che:
>>>> Numero_Dispari => Numero_(Della forma)2q+1
>>>>
>>>> Per il viceversa: 2q+1 => Dispari.
>>>> Può 2q+1 essere pari ?
>>>> Se lo fosse, 2q+1 = 2n, per qualche n.
>>>> Ma allora: 1 = 2(n-q)
>>>> Al minimo abbiamo n-q=1, quindi 1 = 2
>>>> Negli altri casi n-q > 1, peggio che peggio.
>>>> Perciò, 2q+1 è dispari, ossia
>>>> 2q+1 => Dispari
>>>>
>>>> Con questo abbiamo stabilito l'equivalenza logica
>>>> tra 2q+1 (O 2n+1, che dir si voglia) e Dispari.
>>>>
>>>
>>> ma non facevi prima a dire :
>>>
>>> m è pari se e solo se dividendolo per 2 da resto 0
>>
>> Ma non ho usato la nozione di "divisione" e di "resto".
>
> e perchè no ?
>
>>> invece 2*n + 1 diviso 2 da resto 1, quindi non è pari,
>>> quindi è dispari
>>
>> E se m è dispari come si dimostra che deve avere la forma 2n+1 ?
>
> e che altra forma potrebbe avere visto che il resto della divisione
> per 2 puo' essere solo 0 oppure 1 ?

cmq :

un numero si definisce pari sse 2 lo divide
indi per cui la parità è strettamente connessa con il concetto di
divisibilità.

Perchè dunque rinunciare forzatamente a tale concetto ?

Il risultato di questa rinuncia è produrre una dimostrazione quasi
"contro natura", ossia contorta. E la tua difatti lo è.
Senza offesa.
Giovanni 31 Mag 2017 11:52
Il giorno martedì 30 maggio 2017 12:02:54 UTC+2, radica...@gmail.com ha
scritto:
> Il giorno martedì 30 maggio 2017 11:51:13 UTC+2, radica...@gmail.com ha
scritto:
>> Il giorno martedì 30 maggio 2017 10:25:58 UTC+2, Giovanni ha scritto:
>>> Il giorno lunedì 29 maggio 2017 18:21:09 UTC+2, radica...@gmail.com ha
scritto:
>>>> Il giorno venerdì 26 maggio 2017 15:27:59 UTC+2, Giovanni ha scritto:
>>>>> Il giorno venerdì 5 maggio 2017 12:08:15 UTC+2, radica...@gmail.com
ha scritto:
>>>>>> i matematici dicono ad es.
>>>>>> i pari m hanno la "forma" (o sono della forma)
>>>>>> m = 2n
>>>>>>
>>>>>> oppure i dispari d hanno la "forma" d = 2n + 1
>>>>>> oppure i quadrati q sono della forma q = n^2
>>>>>>
>>>>>> ecc ecc
>>>>>>
>>>>>> questo modo di esporre le cose ha sempre esercitato
>>>>>> su di me un grande fascino perchè pur essendo molto
>>>>>> informale e intuitivo è chiaro come il sole.
>>>>>>
>>>>>> Si direbbe, piu formalmente :
>>>>>> un dispari d è tale se esiste almeno un n tale
>>>>>> per cui d = 2n + 1
>>>>>>
>>>>>> Apparentemente l' esposizione è del tutto equivalente
>>>>>> alla precedente ma a parte il fatto che è meno
>>>>>> "suggestiva" (e perchè mai dovremmo rinunciare alla
>>>>>> suggestione ? Essa aiuta molto ad amare la matematica)
>>>>>> secondo me non lo è affatto.
>>>>>>
>>>>>> Infatti dire che un numero e' della forma 2n + 1 è
>>>>>> costruire una specie di "stampo" : se un certo numero
>>>>>> si "incastra" perfettamente nello stampo allora è
>>>>>> dispari. Altrimenti non lo è.
>>>>>
>>>>> Che 2n+1 sia dispari non è una definizione, ma deve
>>>>> NECESSARIAMENTE essere così.
>>>>
>>>> ma chi ha detto che è una definizione ?
>>>> se lo becco gli faccio un ******* cosi :-)
>>>>
>>>>
>>>>> Definizione è quella di numero pari:
>>>>> n è pari se esiste m : n = 2m
>>>>> Dispari è poi, semplicemente, NON-pari.
>>>>>
>>>>> Sia n non pari e >2 (Per semplicità mi limito ai numeri positivi).
>>>>> Sia m il massimo numero pari minore di n.
>>>>> Sara' quindi m = 2q, per qualche q.
>>>>> Ora, 2+2q è certamente pari.
>>>>> E deve essere anche >n. Se non lo fosse contraddirebbe che m è il
massimo pari minore di n.
>>>>> Perciò:
>>>>> 2q < n < 2+2q.
>>>>> Ma, trattandosi di numeri interi, tra un numero ed il successore del
successore di quel numero, ci sta il successore, perciò:
>>>>> n = 2q+1.
>>>>> Abbiamo quindi dimostrato che:
>>>>> Numero_Dispari => Numero_(Della forma)2q+1
>>>>>
>>>>> Per il viceversa: 2q+1 => Dispari.
>>>>> Può 2q+1 essere pari ?
>>>>> Se lo fosse, 2q+1 = 2n, per qualche n.
>>>>> Ma allora: 1 = 2(n-q)
>>>>> Al minimo abbiamo n-q=1, quindi 1 = 2
>>>>> Negli altri casi n-q > 1, peggio che peggio.
>>>>> Perciò, 2q+1 è dispari, ossia
>>>>> 2q+1 => Dispari
>>>>>
>>>>> Con questo abbiamo stabilito l'equivalenza logica
>>>>> tra 2q+1 (O 2n+1, che dir si voglia) e Dispari.
>>>>>
>>>>
>>>> ma non facevi prima a dire :
>>>>
>>>> m è pari se e solo se dividendolo per 2 da resto 0
>>>
>>> Ma non ho usato la nozione di "divisione" e di "resto".
>>
>> e perchè no ?
>>
>>>> invece 2*n + 1 diviso 2 da resto 1, quindi non è pari,
>>>> quindi è dispari
>>>
>>> E se m è dispari come si dimostra che deve avere la forma 2n+1 ?
>>
>> e che altra forma potrebbe avere visto che il resto della divisione
>> per 2 puo' essere solo 0 oppure 1 ?
>
> cmq :
>
> un numero si definisce pari sse 2 lo divide
> indi per cui la parità è strettamente connessa con il concetto di
> divisibilità.
>
> Perchè dunque rinunciare forzatamente a tale concetto ?
>
> Il risultato di questa rinuncia è produrre una dimostrazione quasi
> "contro natura", ossia contorta. E la tua difatti lo è.
> Senza offesa.

Ho fatto un giro su web e ho sempre trovato SOLO
DEFINIZIONI, appunto del tipo
Pari : 2n , Dispari : 2n+1.

Insomma è proprio come dicevi:
"Dire che un numero e' della forma 2n + 1 è
costruire una specie di "stampo" : se un certo numero
si "incastra" perfettamente nello stampo allora è
dispari."

Anche se mi sembra che, una volta data la definizione di pari,
il dispari si può derivare.

.
Giovanni
radicale.001@gmail.com 31 Mag 2017 12:55
Il giorno mercoledì 31 maggio 2017 11:52:39 UTC+2, Giovanni ha scritto:

> "Dire che un numero e' della forma 2n + 1 è
> costruire una specie di "stampo" : se un certo numero
> si "incastra" perfettamente nello stampo allora è
> dispari."

e non è meravigliosa questa cosa ? un modo "visivo" che ti
dice se un numero è dispari o pari !

> Anche se mi sembra che, una volta data la definizione di pari,
> il dispari si può derivare.

eh si

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