Matematica. La regina delle scienze
 

Calcolo

marcofuics 16 Mag 2017 21:15
U=1+x^3/3!+x^6/6!+x^9/9!+...
V=x+x^4/4!+x^7/7!+...
W=x^2/2!+x^5/5!+x^8/8!+...

Si provi che

U^3+V^3+W^3-3UVW=1
Giorgio Pastore 16 Mag 2017 22:32
Il 16/05/17 21:15, marcofuics ha scritto:
> U=1+x^3/3!+x^6/6!+x^9/9!+...
> V=x+x^4/4!+x^7/7!+...
> W=x^2/2!+x^5/5!+x^8/8!+...

> Si provi che

> U^3+V^3+W^3-3UVW=1


B*****e. Fin dove riesci ad arrivare ? (*)

Giorgio



(*) dal Manifesto di i.s.m. (questo sconosciuto):
"NON sono ammessi articoli che
+
chiedano qual è il valore dell'integrale che vi hanno dato per compito a
casa: non rispondete nemmeno (pubblicamente, se poi siete buoni e volete
inviare una risposta privata non ci sono problemi!) a simili richieste.
Chiedere hint (tracce) è invece bene accetto."
Bruno Campanini 17 Mag 2017 02:05
marcofuics formulated on Tuesday :
> U=1+x^3/3!+x^6/6!+x^9/9!+...
> V=x+x^4/4!+x^7/7!+...
> W=x^2/2!+x^5/5!+x^8/8!+...
>
> Si provi che
>
> U^3+V^3+W^3-3UVW=1

*****ata per *****ata... questa come la risolvi?

a^x + b^x + c^x = zabc

Bruno
Wakinian Tanka 17 Mag 2017 18:34
Il giorno martedì 16 maggio 2017 21:15:44 UTC+2, marcofuics ha scritto:
> U=1+x^3/3!+x^6/6!+x^9/9!+...
> V=x+x^4/4!+x^7/7!+...
> W=x^2/2!+x^5/5!+x^8/8!+...
> Si provi che
> U^3+V^3+W^3-3UVW=1

Fatto :-)
I miei calcoli sono lunghetti quindi temo ci sia un modo piu' semplice...
U + V + W = e^x (e questo e' b*****e)
U' = W
W' = V
V' = U
Da cui U''' - U = 0
Risolvendo l'eq. diff.:
-->

U(x) = (1/3)[e^x + 2e^(-x/2) * cos(sqrt(3)x/2)]
V(x) = (1/3){e^x - e^(-x/2) *[cos(sqrt(3)x/2) - sqrt(3)*sin(sqrt(3)x/2)]
W(x) = (1/3){e^x - e^(-x/2) *[cos(sqrt(3)x/2) + sqrt(3)*sin(sqrt(3)x/2)]

dopo ... qualche :-) conticino si perviene proprio a

U^3 + V^3 + W^3 - 3UVW = 1.

Ok, non sparate sul pianista!

--
Wakinian Tanka
Giorgio Pastore 17 Mag 2017 19:44
Il 17/05/17 18:34, Wakinian Tanka ha scritto:
> Il giorno martedì 16 maggio 2017 21:15:44 UTC+2, marcofuics ha scritto:
>> U=1+x^3/3!+x^6/6!+x^9/9!+...
>> V=x+x^4/4!+x^7/7!+...
>> W=x^2/2!+x^5/5!+x^8/8!+...
>> Si provi che
>> U^3+V^3+W^3-3UVW=1
>
> Fatto :-)
> I miei calcoli sono lunghetti quindi temo ci sia un modo piu' semplice...

puoi effettivamente far prima:

> U' = W
> W' = V
> V' = U

calcoli la derivata prima di

F= U^3 + V^3 + W^3 - 3UVW

usando le relazioni tra funz e derivate prime per eliminare le derivate
prime, per scoprire che
dF/dx=0 => F(x) = costante = F(0) = 1

Ma continuo a non capire perché marcofuics inondi il NG di problemi
senza contesto. E' un test ?

Giorgio
Wakinian Tanka 17 Mag 2017 20:13
Il giorno mercoledì 17 maggio 2017 19:44:24 UTC+2, Giorgio Pastore ha scritto:
> Il 17/05/17 18:34, Wakinian Tanka ha scritto:
>> Il giorno martedì 16 maggio 2017 21:15:44 UTC+2, marcofuics ha scritto:
>>> U=1+x^3/3!+x^6/6!+x^9/9!+...
>>> V=x+x^4/4!+x^7/7!+...
>>> W=x^2/2!+x^5/5!+x^8/8!+...
>>> Si provi che
>>> U^3+V^3+W^3-3UVW=1
>>
>> Fatto :-)
>> I miei calcoli sono lunghetti quindi temo ci sia un modo piu' semplice...
>
> puoi effettivamente far prima:
>
>> U' = W
>> W' = V
>> V' = U
>
> calcoli la derivata prima di
> F= U^3 + V^3 + W^3 - 3UVW
...
> eliminare le derivate prime

Cavolo! Era così semplice...
E pensare che l'idea di derivare quell'espressione mi e' venuta ma ... sono
andato troppo oltre, ho fatto la D. seconda sigh!

> Ma continuo a non capire perché marcofuics inondi il NG di problemi
> senza contesto. E' un test ?

Forse sta facendo un corso on line per accedere all'insegnamento ad una scuola e
ci fa lavorare per avere le risposte alle domande:-)))

--
Wakinian Tanka
JTS 17 Mag 2017 20:58
On Wednesday, May 17, 2017 at 7:44:24 PM UTC+2, Giorgio Pastore wrote:

>
> puoi effettivamente far prima:
>
>> U' = W
>> W' = V
>> V' = U
>
> calcoli la derivata prima di
>
> F= U^3 + V^3 + W^3 - 3UVW
>
> usando le relazioni tra funz e derivate prime per eliminare le derivate
> prime, per scoprire che ...

Credo questo sia un metodo da tenere in mente in generale quando bisogna
dimostrare che F(x_1, x_2, ...) = ad una costante e siano note delle relazioni
tra le derivate delle x_n
El Filibustero 17 Mag 2017 22:00
On Wed, 17 May 2017 11:58:34 -0700 (PDT), JTS wrote:

>On Wednesday, May 17, 2017 at 7:44:24 PM UTC+2, Giorgio Pastore wrote:
>
>>
>> puoi effettivamente far prima:
>>
>>> U' = W
>>> W' = V
>>> V' = U
>>
>> calcoli la derivata prima di
>>
>> F= U^3 + V^3 + W^3 - 3UVW
>>
>> usando le relazioni tra funz e derivate prime per eliminare le derivate
>> prime, per scoprire che ...
>
>Credo questo sia un metodo da tenere in mente in generale quando bisogna
>dimostrare che F(x_1, x_2, ...) = ad una costante e siano note delle relazioni
>tra le derivate delle x_n

Senza concetto di derivata: sappiamo che

cosh(x)= 1 + xx/2! + ******* 4! + .... = ( exp(x) + exp(-x) )/2
sinh(x)= x + ******* 3! + ******* 5! + .... = ( exp(x) - exp(-x) )/2

*****ogamente, passando da 2 a 3, indichiamo con o:= -1/2+i sqrt(3)/2
la prima radice cubica dell'unita' (ha il ruolo che aveva -1 prima);
si ha

U = ( exp(x) + exp(ox) + exp(oox) )/3
V = ( exp(x) + oo exp(ox) + o exp(oox) )/3
W = ( exp(x) + o exp(ox) + oo exp(oox) )/3

Ora, UUU+VVV+WWW-3UVW = (U+V+W)((U+V+W)^2 - 3(UV+UW+VW) ) =
= exp(x)( exp(2x) - 3(UV+UW+VW) ).

Rimane da calcolare 3(UV+UW+VW). Ricordando che 1+o+oo = 0,
l'espressione si semplifica in exp(x)^2 - exp(ox)exp(oox) =
exp(2x)-exp((o+oo)x) = exp(2x)-exp(-x). Allora

UUU+VVV+WWW-3UVW = exp(x)( exp(2x) - (exp(2x)-exp(-x)) ) = 1. Ciao
Bruno Campanini 18 Mag 2017 01:49
Bruno Campanini wrote on 17-05-17 :

> *****ata per *****ata... questa come la risolvi?
>
> a^x + b^x + c^x = zabc

Nessuno sa risolverla?
Nessuno osa dire che è irresolubile?

Bruno
Tommaso Russo, Trieste 18 Mag 2017 01:55
Il 18/05/2017 01:49, Bruno Campanini ha scritto:
>> *****ata per *****ata... questa come la risolvi?
>>
>> a^x + b^x + c^x = zabc
>
> Nessuno sa risolverla?
> Nessuno osa dire che è irresolubile?

x=1, z=1, a=1, b=2, c=3


--
TRu-TS
buon vento e cieli sereni
Bruno Campanini 18 Mag 2017 02:33
on 18-05-17, Tommaso Russo, Trieste supposed :
> Il 18/05/2017 01:49, Bruno Campanini ha scritto:
>>> *****ata per *****ata... questa come la risolvi?
>>>
>>> a^x + b^x + c^x = zabc
>>
>> Nessuno sa risolverla?
>> Nessuno osa dire che è irresolubile?
>
> x=1, z=1, a=1, b=2, c=3

Sì ma hai applicato un criterio brute force che dà
un'unica soluzione, mentre le soluzioni sono infinite
ed esiste un criterio valido per qualsivoglia numero di
addendi:

a=b=c= qualsiasi numero (4, Log(2-SQR(-7)), SQR(2), ...)
x=z=3

a=b=c=d=e=f= qualsiasi numero
x=z=6

Sciocchezze di primavera.
Bruno
Tommaso Russo, Trieste 18 Mag 2017 15:46
Il 18/05/2017 02:33, Bruno Campanini ha scritto:
> on 18-05-17, Tommaso Russo, Trieste supposed :
>> Il 18/05/2017 01:49, Bruno Campanini ha scritto:
>>>> *****ata per *****ata... questa come la risolvi?
>>>>
>>>> a^x + b^x + c^x = zabc
>>>
>>> Nessuno sa risolverla?
>>> Nessuno osa dire che è irresolubile?
>>
>> x=1, z=1, a=1, b=2, c=3
>
> Sì ma hai applicato un criterio brute force che dà
> un'unica soluzione, mentre le soluzioni sono infinite
> ed esiste un criterio valido per qualsivoglia numero di
> addendi:
>
> a=b=c= qualsiasi numero (4, Log(2-SQR(-7)), SQR(2), ...)
> x=z=3
>
> a=b=c=d=e=f= qualsiasi numero
> x=z=6

Ma anche cosi' tu trovi solo un sottoinsieme delle soluzioni.

> Sciocchezze di primavera.

Sono sciocchezze perche' non hai definito bene il problema, non hai
detto quali sono i parametri dati e qual'e' l'incognita, ne' a quale
insieme possano appartenere.

Svisceriamolo un po'.

Dati a,b,c reali positivi, per ogni x reale si determina z che soddisfa
l'equazione data:

z = (a^x + b^x + c^x) / abc.

z risulta reale e positivo; z(x) e' monotona crescente, il suo limite
per x-> -inf e' zero, il suo limite per x-> +inf e' +inf, per cui,

dati a,b,c reali positivi, per ogni z reale positivo si determina
(magari con la bisezione) uno e un solo x reale che soddisfa l'equazione.

Se permettiamo ad a,b,c di essere anche negativi (ma non nulli), allora
per ogni x reale lo z(x) che si determina e' complesso. z(x) e' una
curva parametrizzata da x nel piano complesso, per cui NON e' vero che
per qualsiasi z complesso si possa determinare x reale che soddisfa
l'equazione.

Permettiamo allora anche a x di essere complesso (e a questo punto
possiamo considerare anche a,b,c complessi purche' tutti non nulli).

Per ogni x complesso si determina z, sempre con la stessa formula.

Domanda: z(x) risulta invertibile?

Non so (ancora) la risposta.


--
TRu-TS
buon vento e cieli sereni
Bruno Campanini 18 Mag 2017 16:24
Tommaso Russo, Trieste has brought this to us :
> Il 18/05/2017 02:33, Bruno Campanini ha scritto:
>> on 18-05-17, Tommaso Russo, Trieste supposed :
>>> Il 18/05/2017 01:49, Bruno Campanini ha scritto:
>>>>> *****ata per *****ata... questa come la risolvi?
>>>>>
>>>>> a^x + b^x + c^x = zabc
>>>>
>>>> Nessuno sa risolverla?
>>>> Nessuno osa dire che è irresolubile?
>>>
>>> x=1, z=1, a=1, b=2, c=3
>>
>> Sì ma hai applicato un criterio brute force che dà
>> un'unica soluzione, mentre le soluzioni sono infinite
>> ed esiste un criterio valido per qualsivoglia numero di
>> addendi:
>>
>> a=b=c= qualsiasi numero (4, Log(2-SQR(-7)), SQR(2), ...)
>> x=z=3
>>
>> a=b=c=d=e=f= qualsiasi numero
>> x=z=6
>
> Ma anche cosi' tu trovi solo un sottoinsieme delle soluzioni.
>
>> Sciocchezze di primavera.
>
> Sono sciocchezze perche' non hai definito bene il problema, non hai detto
> quali sono i parametri dati e qual'e' l'incognita
Nessun parametro è dato; le incognite sono a, b, c, x, z.

> ne' a quale insieme
> possano appartenere.
Possono appartenere a qualsiasi insieme che risolva il problema.

> Svisceriamolo un po'.
Dopo che hai sviscerato mi proponi la tua soluzione.

Bruno
Tommaso Russo, Trieste 18 Mag 2017 16:44
Il 18/05/2017 16:24, Bruno Campanini ha scritto:
> Tommaso Russo, Trieste has brought this to us :
>> ...non hai definito bene il problema, non hai
>> detto quali sono i parametri dati e qual'e' l'incognita
> Nessun parametro è dato; le incognite sono a, b, c, x, z.
>
>> ne' a quale insieme possano appartenere.
> Possono appartenere a qualsiasi insieme che risolva il problema.
>
>> Svisceriamolo un po'.
> Dopo che hai sviscerato mi proponi la tua soluzione.

Te l'ho gia' data: per qualsiasi quaterna di a,b,c,x complessi (purche'
a,b,c siano non nulli), si trova la z che completa la soluzione con la

z = (a^x + b^x + c^x) / abc.


--
TRu-TS
buon vento e cieli sereni
Bruno Campanini 18 Mag 2017 23:31
Tommaso Russo, Trieste explained on 18-05-17 :
> Il 18/05/2017 16:24, Bruno Campanini ha scritto:
>> Tommaso Russo, Trieste has brought this to us :
>>> ...non hai definito bene il problema, non hai
>>> detto quali sono i parametri dati e qual'e' l'incognita
>> Nessun parametro è dato; le incognite sono a, b, c, x, z.
>>
>>> ne' a quale insieme possano appartenere.
>> Possono appartenere a qualsiasi insieme che risolva il problema.
>>
>>> Svisceriamolo un po'.
>> Dopo che hai sviscerato mi proponi la tua soluzione.
>
> Te l'ho gia' data: per qualsiasi quaterna di a,b,c,x complessi (purche' a,b,c
> siano non nulli), si trova la z che completa la soluzione con la
>
> z = (a^x + b^x + c^x) / abc.
Ma che c'entra?
La z è il numero degli addendi!

a^x + b^x + c^x = z a b c
Perché ciò avvenga deve essere:

z = x = numero degli addendi
a = b = c = y = QUALUNQUE numero reale, complesso, zero!

talché potremmo scrivere:
y^3 + y^3 +y^3 = 3 y^3

Quanto sopra vale per qualsiasi numero di addendi.

Non ci vuole della matematica... ci vuole un po' di fantasia.
Bruno
ADPUF 18 Mag 2017 23:42
Bruno Campanini 23:31, giovedì 18 maggio 2017:
> Tommaso Russo, Trieste explained on 18-05-17 :
>> Il 18/05/2017 16:24, Bruno Campanini ha scritto:
>>> Tommaso Russo, Trieste has brought this to us :
>>>> ...non hai definito bene il problema, non hai
>>>> detto quali sono i parametri dati e qual'e' l'incognita
>>> Nessun parametro è dato; le incognite sono a, b, c, x, z.
>>>
>>>> ne' a quale insieme possano appartenere.
>>> Possono appartenere a qualsiasi insieme che risolva il
>>> problema.
>>>
>>>> Svisceriamolo un po'.
>>> Dopo che hai sviscerato mi proponi la tua soluzione.
>>
>> Te l'ho gia' data: per qualsiasi quaterna di a,b,c,x
>> complessi (purche' a,b,c siano non nulli), si trova la z che
>> completa la soluzione con la
>>
>> z = (a^x + b^x + c^x) / abc.
> Ma che c'entra?
> La z è il numero degli addendi!
>
> a^x + b^x + c^x = z a b c
> Perché ciò avvenga deve essere:
>
> z = x = numero degli addendi
> a = b = c = y = QUALUNQUE numero reale, complesso, zero!
>
> talché potremmo scrivere:
> y^3 + y^3 +y^3 = 3 y^3
>
> Quanto sopra vale per qualsiasi numero di addendi.


Ma allora dovresti specificare che z e x sono *interi* !


> Non ci vuole della matematica... ci vuole un po' di fantasia.


Ma ognuno cià la sua, di fantasia...
:-)

--
AIOE °¿°
Ho plonkato tutti quelli che postano da Google Groups!
Qui è Usenet, non è il Web!
Tommaso Russo, Trieste 19 Mag 2017 00:10
Il 18/05/2017 23:31, Bruno Campanini ha scritto:
> Non ci vuole della matematica... ci vuole un po' di fantasia.

Certo, per indovinare quello che avevi in mente tu...

per risolvere quello che hai scritto, invece, serve proprio un po' di
Matematica.

--
TRu-TS
buon vento e cieli sereni
Bruno Campanini 19 Mag 2017 11:04
on 19-05-17, Tommaso Russo, Trieste supposed :
> Il 18/05/2017 23:31, Bruno Campanini ha scritto:
>> Non ci vuole della matematica... ci vuole un po' di fantasia.
>
> Certo, per indovinare quello che avevi in mente tu...
>
> per risolvere quello che hai scritto, invece, serve proprio un po' di
> Matematica.

Rispondo anche a ADPUF
======================

Io non avevo niente in mente.
Chiedevo solo di definire le variabili a, b, c, x, z
tali che a^x + b^x + c^x = zabc

L'uno (Tommaso) ha fornito x=1, z=1, a=1, b=2, c=3
OK, ho solo eccepito che il criterio non vale per più di tre addendi.
L'altro (ADPUF) non ci ha nemmeno provato.

Buon weekend
Bruno

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