Matematica. La regina delle scienze
 

Problema della camicia da sciacquare a mano

Wakinian Tanka 11 Ott 2017 17:58
Ho una camicia che ho lavato a mano, in un catino, con acqua insaponata e che
devo sciacquare nel modo più efficiente possibile utilizzando una determinata
quantità di acqua del rubinetto. Come devo sciacquarla? Facendo tanti
risciacqui con poca acqua o pochi con molta? E quanta ne devo usare ad ogni
risciacquo? E devo usarne sempre la stessa quantità oppure al primo risciacquo
di meno e poi di più? O viceversa?

Diciamo che un volume costante v di acqua (insaponata o meno) rimane aderente
alla camicia appena la tiro fuori dal catino. Sia C_0 la concentrazione iniziale
(massa/volume) di sapone in acqua e quindi dell'acqua saponata che rimane
aderente alla camicia la prima volta che la tolgo dal catino.

Dopodiché butto via l'acqua saponata dal catino e la sostituisco con un volume
x_1 di acqua del rubinetto, sciacquo la camicia con quest'acqua e quindi avrò
adesso una concentrazione di sapone pari a C_1 = C_0*v/(v+x_1).

Dopo n risciacqui avrò:

C_n = C_{n-1}*v/(v+x_n).

Posto che la quantità totale di acqua di rubinetto che posso utilizzare é

V = Sum{i=1,n}x_i (ad esempio, V = 300v)

e che la concentrazione finale C_n di sapone deve essere inferiore di un valore
fissato C (ad esempio, C = C_0/10^3)

1) Il problema è risolvibile per quali valori di C, di V, n?
2) Quanto vale n?
3) Quanto valgono x_1, x_2, ... x_n?

Tenuto conto che é un problema che ho inventato io (e che realmente mi pongo
quando lavo le camicie a mano!) é possibile che ci sia qualcosa che va posto
meglio nel suo enunciato.

Grazie.

--
Wakinian Tanka
Wakinian Tanka 11 Ott 2017 18:42
Per fare un esempio semplice e realistico, pongo n = 2.
Pervengo a:

10^3 = (1+x_1/v)(1+x_2/v)
300 = x_1/v + x_2/v

x_1/v = x
x_2/v = y

x + y = 300
x*y = 699

da questa simmetria tra x e y si vede che è ininfluente quale sia il primo
risciacquo: se al primo risciacquo uso una certa quantità d'acqua x_1 ed al
secondo x_2 o viceversa é lo stesso.

x =~ 2,35
y =~ 297,65

--
Wakinian Tanka
El Filibustero 11 Ott 2017 18:56
On Wed, 11 Oct 2017 08:58:16 -0700 (PDT), Wakinian Tanka wrote:

>Diciamo che un volume costante v di acqua (insaponata o meno)
>rimane aderente alla camicia appena la tiro fuori dal catino.
>Sia C_0 la concentrazione iniziale (massa/volume) di sapone
>in acqua e quindi dell'acqua saponata che rimane aderente alla
>camicia la prima volta che la tolgo dal catino.
>
>Dopodiché butto via l'acqua saponata dal catino e la sostituisco
>con un volume x_1 di acqua del rubinetto, sciacquo la camicia con
>quest'acqua e quindi avrò adesso una concentrazione di sapone pari
>a C_1 = C_0*v/(v+x_1).

Semplifichiamo assumendo v come unita' di misura del volume:

>Dopo n risciacqui avrò:
>
>C_n = C_{n-1}*v/(v+x_n).

Ossia C_n = 1/prodotto{i=1..n}(1 + x_i)

Si tratta di minimizzare C_n a condizione di V=somma{i=1..n}x_i
costante [ossia massimizzare prodotto{i=1..n}(1+x_i) per un assegnato
V] oppure minimizzare somma{i=1..n}x_i per un dato C_n. Se anche n e'
prefissato, cio' si ottiene ripartendo V in n parti uguali. Altrimenti
fare quanti piu' risciacqui possibile, in modo che la concentrazione
C_n tenda a exp(-V) anziche' 1/(1+V) del risciaquo unico.

>Posto che la quantità totale di acqua di rubinetto che posso utilizzare é
>
>V = Sum{i=1,n}x_i (ad esempio, V = 300v)
>
>e che la concentrazione finale C_n di sapone deve essere inferiore
>di un valore fissato C (ad esempio, C = C_0/10^3)
>
>1) Il problema è risolvibile per quali valori di C, di V, n?
>2) Quanto vale n?
>3) Quanto valgono x_1, x_2, ... x_n?

E' ovviamente indeterminato, in questi termini. Ciao
El Filibustero 11 Ott 2017 20:19
On Wed, 11 Oct 2017 18:56:17 +0200, El Filibustero wrote:

>prefissato, cio' si ottiene ripartendo V in n parti uguali. Altrimenti
>fare quanti piu' risciacqui possibile, in modo che la concentrazione
>C_n tenda a exp(-V) anziche' 1/(1+V) del risciaquo unico.

Ovviamente da intendersi: C_n tenda a C_0*exp(-V) anziche' C_0/(1+V)
del risciaCquo unico. Tendo sempre a eliminare fattori di disturbo (e
lettere) inutili. Lettere c, in entrambi i casi. Ciao
JTS 11 Ott 2017 22:32
On Wednesday, October 11, 2017 at 8:19:08 PM UTC+2, El Filibustero wrote:
> On Wed, 11 Oct 2017 18:56:17 +0200, El Filibustero wrote:
>
>>prefissato, cio' si ottiene ripartendo V in n parti uguali. Altrimenti
>>fare quanti piu' risciacqui possibile, in modo che la concentrazione
>>C_n tenda a exp(-V) anziche' 1/(1+V) del risciaquo unico.
>
> Ovviamente da intendersi: C_n tenda a C_0*exp(-V) anziche' C_0/(1+V)
> del risciaCquo unico. Tendo sempre a eliminare fattori di disturbo (e
> lettere) inutili. Lettere c, in entrambi i casi. Ciao


Dato il problema, secondo me una mezaz idea intuitiva sul perche' la soluzione
e' cosi' puo' essere d'aiuto.
Ecco la mia proposta che ho l'impressione che possa essere migliorata.
Usando poca acqua al primo risciacquo, si butta via acqua con molto sapone
dentro, quindi una parte di acqua viene usata in maniera molto efficiente.
Da questo credo si possa concludere che usando l'acqua a poco a poco si tolga
piu' sapone che usando l'acqua tutta assieme: ogni piccola parte di acqua, usata
da sola, toglie piu' sapone di quanto ne tolga la stessa parte quando la si usa
insieme al resto - finche' la concentrazione del sapone e' maggiore della
concetrazione ottenuta con una sola diluizione. La concentrazione quindi,
ripetendo l'operazione, deve scendere al di sotto della concentrazione ottenuta
in un colpo solo, perche' se cosi' non fosse avremmo tolto dalla camicia piu'
sapone *senza* aver fatto scendere la concentrazione (assurdo).
Bruno Campanini 12 Ott 2017 15:13
Wakinian Tanka pretended :

> Per fare un esempio semplice e realistico, pongo n = 2.
> Pervengo a:
>
> 10^3 = (1+x_1/v)(1+x_2/v)
> 300 = x_1/v + x_2/v
>
> x_1/v = x
> x_2/v = y
>
> x + y = 300
> x*y = 699
>
> da questa simmetria tra x e y si vede che è ininfluente quale sia il primo
> risciacquo: se al primo risciacquo uso una certa quantità d'acqua x_1 ed al
> secondo x_2 o viceversa é lo stesso.
>
> x =~ 2,35
> y =~ 297,65

Certo che alla tua età non saper nemmeno lavare una camicia... io lo
saprei fare, pur non avendolo mai fatto.

Ma a parte gli scherzi, non capisco l'ipotesi di usare diverse quantità
d'acqua ai vari risciacqui.
Comunque questi avvengano (strizzando la camicia ovvero più
delicatamente premendola sul fondo del catino, etc.) la quantità minima
che ti serve è quella che ha volume convenientemente superiore al
volume della camicia.
E non vedo l'opportunità di variarla di risciacquo in risciacquo.

Direi che ogni volta cedi all'acqua la stessa percentuale di
sapone che si trova il quel momento nella camicia.
Se ciò fosse vero e fosse possibile definire tale percentuale, sarebbe
determinabile il numero di risciacqui necessario per togliere alla
camicia "quasi" tutto il sapone.
Diversamente il problema è indeterminato.

Bruno
ADPUF 12 Ott 2017 22:08
Wakinian Tanka 17:58, mercoledì 11 ottobre 2017:

> Tenuto conto che é un problema che ho inventato io (e che
> realmente mi pongo quando lavo le camicie a mano!) é
> possibile che ci sia qualcosa che va posto meglio nel suo
> enunciato.


Secondo me è una serie geometrica troncata in cui ad ogni
risciacquo il sapone residuo è una percentuale di quello
precedente.

Per cui la somma è

S= (1 - a^(k+1)) / (1-a)
con a:= percentuale sapone residuo

Fissato S e noto a si trova k:

k= log[1 - S * (1-a)] / log[a]


Più o meno...



--
E-S °¿°
Ho plonkato tutti quelli che postano da Google Groups!
Qui è Usenet, non è il Web!
Tru-TS 13 Ott 2017 20:03
Il 11/10/2017 22:32, JTS ha scritto:
> On Wednesday, October 11, 2017 at 8:19:08 PM UTC+2, El Filibustero wrote:
>> On Wed, 11 Oct 2017 18:56:17 +0200, El Filibustero wrote:
>>
>>> prefissato, cio' si ottiene ripartendo V in n parti uguali. Altrimenti
>>> fare quanti piu' risciacqui possibile, in modo che la concentrazione
>>> C_n tenda a exp(-V) anziche' 1/(1+V) del risciaquo unico.
>>
>> Ovviamente da intendersi: C_n tenda a C_0*exp(-V) anziche' C_0/(1+V)
>> del risciaCquo unico. Tendo sempre a eliminare fattori di disturbo (e
>> lettere) inutili. Lettere c, in entrambi i casi. Ciao
>
>
> Dato il problema, secondo me una mezaz idea intuitiva sul perche' la soluzione
e' cosi' puo' essere d'aiuto.
> Ecco la mia proposta che ho l'impressione che possa essere migliorata.
> Usando poca acqua al primo risciacquo, si butta via acqua con molto sapone
dentro, quindi una parte di acqua viene usata in maniera molto efficiente.
> Da questo credo si possa concludere che usando l'acqua a poco a poco si tolga
piu' sapone che usando l'acqua tutta assieme: ogni piccola parte di acqua, usata
da sola, toglie piu' sapone di quanto ne tolga la stessa parte quando la si usa
insieme al resto - finche' la concentrazione del sapone e' maggiore della
concetrazione ottenuta con una sola diluizione. La concentrazione quindi,
ripetendo l'operazione, deve scendere al di sotto della concentrazione ottenuta
in un colpo solo, perche' se cosi' non fosse avremmo tolto dalla camicia piu'
sapone *senza* aver fatto scendere la concentrazione (assurdo).

Mi pare un problema molto *****ogo a quello di far fare un gomito ad
angolo retto ad una guida d'onda.

Conviene fare due angoli a 45 gradi, tre a 30 gradi, nove a 10 gradi...
ecc.?

La soluzione è che conviene fare una curva continua.

Quindi: infiniti risciacqui con zero acqua. :-)


--
TRu-TS
buon vento e cieli sereni
Wakinian Tanka 13 Ott 2017 20:19
Il giorno venerdì 13 ottobre 2017 20:03:35 UTC+2, Tru-TS ha scritto:
>
> Mi pare un problema molto *****ogo a quello di far fare un gomito ad
> angolo retto ad una guida d'onda.
> Conviene fare due angoli a 45 gradi, tre a 30 gradi, nove a 10 gradi...
> ecc.?
> La soluzione è che conviene fare una curva continua.
> Quindi: infiniti risciacqui con zero acqua. :-)

Ah, meno male. Le altre risposte mi parevano tutte troppo poco realistiche :-)

Cosa ne pensi della soluzione che ho ottenuto con n = 2? Come mai x_1 e x_2 sono
diversi (e non di poco, tea l'altro)?
Ciao.

--
Wakinian Tanka
JTS 13 Ott 2017 21:27
Am Freitag, 13. Oktober 2017 20:19:47 UTC+2 schrieb Wakinian Tanka:
> Il giorno venerdì 13 ottobre 2017 20:03:35 UTC+2, Tru-TS ha scritto:
>>
>> Mi pare un problema molto *****ogo a quello di far fare un gomito ad
>> angolo retto ad una guida d'onda.
>> Conviene fare due angoli a 45 gradi, tre a 30 gradi, nove a 10 gradi...
>> ecc.?
>> La soluzione è che conviene fare una curva continua.
>> Quindi: infiniti risciacqui con zero acqua. :-)
>
> Ah, meno male. Le altre risposte mi parevano tutte troppo poco realistiche :-)
>
> Cosa ne pensi della soluzione che ho ottenuto con n = 2? Come mai x_1 e x_2
sono diversi (e non di poco, tea l'altro)?
> Ciao.
>
> --
> Wakinian Tanka

Per rispondere hai due possibilità. Una è verificare - pensandoci su - se il
tuo calcolo trova le quantità d'acqua che rendono minima la concentrazione (la
risposta è no). La seconda, poco praticata in questo ng, pericolosa perché fa
impigrire, ma potente per mettere in evidenza errori, è fare un grafico. Non lo
ho fatto, ma mi aspetto mostri che il minimo non corrisponda alla tua soluzione.
Paola Pannuti 13 Ott 2017 22:35
Il giorno venerdì 13 ottobre 2017 21:27:10 UTC+2, JTS ha scritto:
> ma mi aspetto mostri che il minimo non corrisponda alla tua soluzione.

Dunque, in pratica, più che il numero di risciacqui e la quantità d'acqua
impiegata ogni volta, qual che secondo me è cruciale è la durata di ognuno di
essi. Provare per credere. :-)
JTS 14 Ott 2017 00:06
Am Freitag, 13. Oktober 2017 22:35:20 UTC+2 schrieb Paola Pannuti:
> Il giorno venerdì 13 ottobre 2017 21:27:10 UTC+2, JTS ha scritto:
>> ma mi aspetto mostri che il minimo non corrisponda alla tua soluzione.
>
> Dunque, in pratica, più che il numero di risciacqui e la quantità d'acqua
impiegata ogni volta, qual che secondo me è cruciale è la durata di ognuno di
essi. Provare per credere. :-)

:-)
Wakinian Tanka 14 Ott 2017 12:49
Il giorno venerdì 13 ottobre 2017 20:19:47 UTC+2, Wakinian Tanka ha scritto:
>
> Cosa ne pensi della soluzione che ho ottenuto con n = 2? Come mai x_1 e x_2
> sono diversi (e non di poco, tra l'altro)?

Adesso ho capito: deriva dall'aver imposto un valore, 10^(-3)C0, troppo basso
per C2: senza imporgli alcun valore, con x_1 = x_2 = 150v la concentrazione
finale C2 viene minore di 10^(-4).

--
Wakinian Tanka
El Filibustero 14 Ott 2017 14:07
On Fri, 13 Oct 2017 11:19:45 -0700 (PDT), Wakinian Tanka wrote:

>Cosa ne pensi della soluzione che ho ottenuto con n = 2? Come mai x_1 e x_2
>sono diversi (e non di poco, tea l'altro)?

x_1 e x_2 sono uguali sse si cerca l'optimum con due lavaggi. Se
invece prefissi un C_2 e un V che non sono ottimali con due lavaggi
(il C_2 ottimale con due lavaggi e' (1+V/2)^-2) e' ovvio che il
sistema e' determinato e da' x_1<>x_2. Questo nei termini in cui hai
formulato il problema: naturalmente, per un approccio piu' realistico
non si puo' prescindere dalle considerazioni di Paola Pannuti sul
tempo di lavaggio. Ciao
Wakinian Tanka 14 Ott 2017 15:14
Si, come vedi dal mio post precedente avevo capito il conquibus.
Riguardo il tempo di lavaggio, davo per scontato fosse sufficientemente elevato
da garantire che la concentrazione di sapone nell'acqua sulla camicia fosse
uguale a quella nell'acqua del catino, visto che le avevo poste uguali ...
Ragazzi, siete poco attenti con le camicie :-)
Ciao e grazie per le risposte.

--
Wakinian Tanka
Wakinian Tanka 14 Ott 2017 15:22
Il giorno giovedì 12 ottobre 2017 15:13:34 UTC+2, Bruno Campanini ha scritto:
>
> Certo che alla tua età non saper nemmeno lavare una camicia... io lo
> saprei fare, pur non avendolo mai fatto.
> Ma a parte gli scherzi, non capisco l'ipotesi di usare diverse quantità
> d'acqua ai vari risciacqui.
> Comunque questi avvengano (strizzando la camicia ovvero più
> delicatamente premendola sul fondo del catino, etc.) la quantità minima
> che ti serve è quella che ha volume convenientemente superiore al
> volume della camicia.

Ma siccome il volume totale di acqua è fissato, non puoi usarne il massimo
possibile ...

> E non vedo l'opportunità di variarla di risciacquo in risciacquo.

Qui hai ragione, *se la concentrazione finale di sapone non è predeterminata ma
la minima possibile*, ma me lo devi giustificare facendo i conti.

--
Wakinian Tanka
Wakinian Tanka 14 Ott 2017 15:40
Il giorno venerdì 13 ottobre 2017 21:27:10 UTC+2, JTS ha scritto:
>
> Per rispondere hai due possibilità. Una è verificare - pensandoci su - se il
tuo
> calcolo trova le quantità d'acqua che rendono minima la concentrazione (la
> risposta è no). La seconda, poco praticata in questo ng, pericolosa perché
fa
> impigrire, ma potente per mettere in evidenza errori, è fare un grafico. Non
lo
> ho fatto, ma mi aspetto mostri che il minimo non corrisponda alla tua
soluzione.

Hai bisogno di un grafico? :-)
Io no :-)

Si deve minimizzare 1/[(1+x)(1+y)] ovvero massimizzare f(x,y) = (1+x)(1+y) con
il vincolo x+y = cost. = c = 300 e 0<=x,y<=300.

y = c-x --> f(x,y) = (1+x)(1+c-x) = 1+c+c*x-x^2 = g(x).

g(0) = g(300) = 301

g'(x) = 0: x_m = c/2 = 150 --> y = 150. g(x_m) = 150^2 + 301 ~ 2*10^4.

g"(x_m) = -2 quindi è proprio un punto di massimo.

--
Wakinian Tanka
JTS 14 Ott 2017 17:19
> Hai bisogno di un grafico? :-)

Ho due motivi per i quali lo trovo una buona idea. Uno e' che funziona anche
quando calcolare le derivate e' poco pratico; l'altro e' che e' una possibilita
addizionale di controllo del proprio lavoro (per esempio potrebbe essere chiaro
che "c'e' qualcosa che non va'" ma non si riesca a trovare cosa).
Bruno Campanini 14 Ott 2017 17:30
Wakinian Tanka was thinking very ******* :

> Il giorno giovedì 12 ottobre 2017 15:13:34 UTC+2, Bruno Campanini ha scritto:
>>
>> Certo che alla tua età non saper nemmeno lavare una camicia... io lo
>> saprei fare, pur non avendolo mai fatto.
>> Ma a parte gli scherzi, non capisco l'ipotesi di usare diverse quantità
>> d'acqua ai vari risciacqui.
>> Comunque questi avvengano (strizzando la camicia ovvero più
>> delicatamente premendola sul fondo del catino, etc.) la quantità minima
>> che ti serve è quella che ha volume convenientemente superiore al
>> volume della camicia.
>
> Ma siccome il volume totale di acqua è fissato, non puoi usarne il massimo
> possibile ...
"volume convenientemente superiore al volume della camicia" direi che
è il minimo necessario... non il massimo.

>> E non vedo l'opportunità di variarla di risciacquo in risciacquo.
>
> Qui hai ragione, *se la concentrazione finale di sapone non è predeterminata
> ma la minima possibile*, ma me lo devi giustificare facendo i conti.
Se mi dici quale percentuale di sapone dalla camicia trasferisci
all'acqua nel risciacquo, i conti te li faccio in tre secondi.
Non sono un matematico, da sveglio non so fare i conti sui sogni.

Bruno

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